Понятие вектора

Пусть А – произвольное непустое множество. Декартовым кваратом А называется множество

A ² =

Бинарным отношением на А называется любое подмножество множества A ².

Отношением эквивалентности на А называется такое бинарное отношение на А, которое удовлетворяет следующим условиям:

1) (рефлексивность);

2) если (,b) то (b, ) (симметричность);

3) если (,b) то (,c) (транзитивность).

 

Теорема. Любое отношение эквивалентности на множестве А определяет разбиение этого множества на попарно непересекающиеся классы (классы эквивалентности). Обратно, любое разбиение множества А на попарно непересекающиеся классы определяет отношение эквивалентности на А.

 

Направленный отрезок – отрезок, у которого указано, какая точка является началом, а какая концом. Обозначается .

Пусть заданы направленные отрезки и , не лежащие на двух различных параллельных прямых, и плоскость , проходящая через точки В и D. Тогда плоскость разбивает все пространство на два полупространства. Если при этом точки B и D лежат в одном полупространстве, то говорят, что направленные отрезки и одинаково направлены (обозначается ). В противном случае, они называются противоположно направленными (обозначается ).

Если направленные отрезки и лежат на одной прямой, то они одинаково (противоположно) направлены, если существует такой третий направленный отрезок , который одинаково направлен с каждым из направленных отрезков и (противоположно направлен в точности с одним из направленных отрезков или ).

Абсолютной величиной или модулем (длиной) направленного отрезка называется длина этого направленного отрезка и обозначается | |.

Два направленных отрезка и называются равными, если и , при этом пишут = ,

 

Теорема. Отношение равенства направленных отрезков является отношением эквивалентности.

 

Тогда вектором называется абстрактный объект, совпадающий с некоторым классом эквивалентности.

Таким образом, каждый из равных друг другу направленных отрезков считается представлением (изображением) данного вектора, а неравные направленные отрезки считаются представлением разных векторов. Поэтому в дальнейшем вектор изображается точно так, как и соответствующий ему направленный отрезок.

 

Векторы и называются коллинеарными, если образующие их направленные отрезки параллельны одной и той же прямой (обозначается || ).

Три и более векторов называются компланарными, если образующие их направленные отрезки параллельны некоторой плоскости.

Нулевым вектором называется вектор, начало которого совпадает с его концом (обозначается ). Направление нулевого вектора не определено.