Студопедия — Вопрос 25: закон больших чисел. Лемма о среднем арифметическом случайных величин. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вопрос 25: закон больших чисел. Лемма о среднем арифметическом случайных величин. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема






Лемма: Пусть Хi взаимонезависимые случайные величины i=1,…,n, с одной и той же дисперсией и мат. ожиданием M(x)=m

, тогда

Из Леммы следует:

- Мат. ожидание среднего арифметического и значение случайной величины не зависят от числа опытов

- Дисперсия среднего арифметического в n раз меньше дисперсии каждой из этих случайных величин, зависит от числа опытов

Теорема Чебышева. Если Х1, Х2,…,Хn,…- попарно независимые случайные величины, причем дисперсии их равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то, как бы мало ни было положительное число , вероятность неравенства


будет как угодно близка к единице, если число случайных величин достаточно велико.

Другими словами, в условиях теоремы

.

Таким образом, теорема Чебышева утверждает, что если рассматривается достаточно большое число незави­симых случайных величин, имеющих ограниченные ди­сперсии, то почти достоверным можно считать событие, состоящее в том, что отклонение среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их ма­тематических ожиданий будет по абсолютной величине сколь угодно малым.

Доказательство. Введем в рассмотрение новую случайную величину—среднее арифметическое случайных величин

Найдем математическое ожидание . Пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множи­тель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математи­ческих ожиданий слагаемых), получим

. (*)

Применяя к величине неравенство Чебышева, имеем

,

или, учитывая соотношение (*),

 

. (**).

Пользуясь свойствами дисперсии (постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат; дисперсия суммы независимых с.в. равна сумме дисперсий слагаемых), получим

 

.

 

По условию дисперсии всех с.в. ограничены постоянным числом С, т.е. имеют место неравенства: , поэтому (D(X1)+D(X2)+…+D(Xn))/n2 (C+C+…+C)/n2=nC/n2=c/n.

Итак, . (***)

Подставляя правую часть (***) в неравенство (**) (отчего последнее может быть лишь усилено), имеем

.

Отсюда, переходя к пределу при , получим

.

Наконец, учитывая, что вероятность не может превышать единицу, окончательно можем написать

.

Сущность доказанной теоремы такова: хотя от­дельные независимые случайные величины могут прини­мать значения, далекие от своих математических ожиданий, среднее арифметическое достаточно большого числа случай­ных величин с большой вероятностью принимает значе­ния, близкие к определенному постоянному числу, а именно к числу (M(X1)+M(X2)+…+M(Xn))/n (или к числу а в частном случае). Иными словами, отдельные случайные величины могут иметь значительный разброс, а их среднее арифметическое рассеянно мало.

Таким образом, нельзя уверенно предсказать, какое возможное значение примет каждая из случайных вели­чин, но можно предвидеть, какое значение примет их среднее арифметическое.

Итак, среднее арифметическое достаточно большого числа независимых случайных величин (дисперсии которых равномерно ограничены) утрачивает характер случайной величины. Объясняется это тем, что отклонения каждой из величин от своих математических ожиданий могут быть как положительными, так и отрицательными, а в среднем арифметическом они взаимно погашаются.

Теорема Чебышева справедлива не только для дискрет­ных, но и для непрерывных случайных величин; она является ярким примером, подтверждающим справедли­вость учения диалектического материализма о связи между случайностью и необходимостью.

Теорема Бернулли. Если в каждом из n независимых испытаний вероятность р появления события А постоянна, то как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности p по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний достаточно велико.

Другими словами, если - сколь угодно малое поло­жительное число, то при соблюдении условий теоремы имеет место равенство

.

Доказательство. Обозначим через Х1 дискретную случайную величину—число появлений события в первом испытании, через Х2—во втором,..., Хn—в n-м испы­тании. Ясно, что каждая из величин может принять лишь два значения: 1 (событие А наступило) с вероят­ностью р и 0 (событие не появилось) с вероятностью 1—р=q.

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины по­парно независимы и дисперсии их ограничены. Оба усло­вия выполняются. Действительно, попарная независимость величин X1, Х2,..., Хn следует из того, что испытания независимы. Дисперсия любой величины Xi (i= 1, 2,..., n) равна произведению p*q, так как p+q=1,то произве­дение pq не превышает 1/4 и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например, числом С =1/4.

Применяя теорему Чебышева (частный случай) к рас­сматриваемым величинам, имеем

Приняв во внимание, что математическое ожидание а каждой из величин Xi (т. е. математическое ожидание числа появлений события в одном испытании) равно ве­роятности р наступления события, получим

Остается показать, что дробь (X1+X2+…Xn)/n равна относительной частоте т/п появлений события А в испытаниях. Действительно, каждая из величин X1,X2,…Xn при появлении события в соответствующем испытании принимает значение, равное единице; следовательно, сумма X1+X2+…+Xn равна числу m появления события в n испытаниях, а значит,

Учитывая, это равенство, окончательно получим

.

Итак, теорема Бернулли утверждает, что при относительная частота стремится по вероятности к p.







Дата добавления: 2015-06-15; просмотров: 1024. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия