Вопрос 19. Функция плотности распределения вероятностей одномерной случайной величины, свойства функции плотности. Геометрическая интерпретация

P(x≤X-x+Δx)=F(x+Δx)-X(x)

(F(x+Δx)-F(x))/ Δx – плотность. lim_Δx->0(F(x+ Δx)-F(x))/Δx=F’(x).

Определение: функция плотности распределения ƒ(x)=F’(x)

Свойства ƒ(x): 1) ƒ(x)≥0; 2) P(a≤x<b)=F(b)-F(a)=|_a^bf(x)dx;

3)F(x)=P(x<x)= |_-ω^bf(t)dt;

4)|_-ω^ωf(t)dt=F(x) |_-ω^ω= lim_x->+ωF(x)- lim_x->-ωF(x)=1.

Вопрос 20. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Математическое ожидание Н.С.В. и его свойства.

Мат. ожидание Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: М(Х)=интеграл от –бесконечности до бесконечности хf(x)dx, где f(x) - плотность распределения С.В. Х. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно. В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а,b), то М(Х)=интеграл от ∫а b xf(x)dx. Все свойства мат. ожидания, указаны выше, для Д.С.В. Они сохраняются и для Н.С.В. 1) Мат. ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак мат. ожидания: М (СХ)=СМ (Х).

3) Мат. ожидание произведения взаимно независимых С.В. равно произведению мат. ожиданий сомножителей: М (Х1,Х2…Хn)=M(X1)*M(X2)…M(Xn).

4) Мат. ожидание суммы С.В. равно сумме мат. ожиданий слагаемых: М (Х1+Х2+Х3+…+Хn)=M(X1)+M(X2)+M(X3)+…+M(Xn).

Дисперсия Н.С.В. и ее свойства.

Дисперсия Н.С.В. Х, возможные значения которой принадлежат всей оси ОХ, определяется равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности [x-M(X)]*2f(x)dx, или равносильным равенством: D(X)=интеграл от –бесконечности до бесконечности x*2f(x)dx – [M(X)]*2. В частности, если все возможные значения х принадлежат интервалу (a,b),то D(X)=интервал от а до b [x – M(X)]*2f(x)dx,или D(X)=интеграл от a до b x*2f(x)dx – [M(X)]*2. Все свойства дисперсии Д.С.В. сохраняются и для Н.С.В. 1) Д. постоянной равна нулю: D(C)=0.

2) Постоянный множитель можно выносить за знак Д., предварительно возведя его в квадрат: D (CX)=C*2D(X).

3) Д. суммы независимых С.В. равна сумме Д. слагаемых: D (X1+X2+…+Xn) =D(X1)+D(X2)+…+D(Xn).