Перенос молекул (атомов) через мембраны.Уравнение Фика
Важным элементом функционирования мембран является их способность пропускать или не пропускать молекулы (атомы) и ионы. Существенно, что вероятность такого проникновения частиц зависит как от направления их перемещения, например в клетку или из клетки, так и от разновидности молекул и ионов. Эти вопросы рассматриваются в разделе физики, относящемся - к явлениям переноса. Таким термином называют необратимые F, процессы, в результате которых в физической системе происходит пространственное перемещение (перенос) массы, импульса, энергии, заряда или какой-либо другой физической величины. К явлениям переноса относят диффузию (перенос массы вещества), вязкость (перенос импульса), теплопроводность (перенос энергии), электропроводность (перенос электрического заряда). Здесь и в следующих параграфах рассматриваются наиболее существенные для биологических мембран явления: перенос вещества и перенос заряда. Как синоним переноса частиц в биофизике широкое распространение получил также термин транспорт частиц. Выведем основное уравнение диффузии (уравнение Фика), рассматривая процесс переноса в жидкостях. Пусть через некоторую площадку S (рис. 11.10) во всех направлениях перемещаются молекулы жидкости. Учитывая теорию: молекулярного строения жидкости (см. § 7.6), можно сказать, что молекулы пересекают площадку, перескакивая из одного положения равновесия в другое. На расстояниях, равных среднему перемещению 5 молекул (среднее расстояние между молекулами жидкости), вправо и влево от площадки построим прямоугольные параллелепипеды небольшой толщины l (l <<δ). Объем каждого параллелепипеда равен Sl. Если п — концентрация молекул, то внутри выделенных параллелепипедов имеется Sin молекул. Предположим, что концентрация молекул изменяется в пространстве, в левом (1) выделенном параллелепипеде концентрация равна n1 а в правом (2) — п2. Следовательно, в одном параллелепипеде SZnx молекул, а в другом - Sln2 молекул. Все молекулы вследствие хаотичного их движения можно условно представить шестью группами, каждая из которых перемещается вдоль или против направления одной из осей координат. Отсюда следует, что в направлении, перпендикулярном площадке S, вдоль оси ОХот первого параллелепипеда перескакивает 1/6 Sln1 молекул, а противоположно оси ОХ от второго параллелепипеда перескакивает 1/6 Sln2 молекул. Время Δt «пролета» этими молекулами площадки S может быть найдено следующим образом. Предположим, что все молекулы из выделенных объемов движутся с одинаковыми средними скоростями <v>. Тогда молекулы в объеме 1 или 2, дошедшие до площадки S, пересекают ее в течение промежутка времени Подставляя в ( 11.1)выражение для средней скорости ύ из (7.20), получаем Δt=(l/δ)*τ (11.2) где т — среднее время «оседлой жизни» молекулы, оно может рассматриваться как среднее время перескока. «Баланс» переноса молекул через площадку S за промежуток времени Δ t равен Умножая (11.3)на массу т отдельной молекулы и деля на Δ t, находим массовый поток сквозь площадку S: т. е. масса вещества, которая за 1 с переносится через площадку S. Изменение концентрации п2 - п1 молекул можно представить как произведение dn/dxна расстояние 2δ между выделенными объемами:
В уравнении (11.4) заменим Δ t согласно (11.2)и (п2 - п1) согласно (11.5): Отношение потока к площади S, через которую он переноситься, называется плотностью потока: Произведение массы молекулы на их концентрацию есть плотность вещества (парциальная плотность):
Это есть уравнение диффузии (уравнение Фика), которое обычно записывают в виде: Знак «-» показывает, что суммарная плотность потока вещества при диффузии направлена в сторону уменьшения плотности (в сторону, противоположную градиенту плотности), D — коэффициент диффузии, применительно к рассмотренному примеру диффузии в жидкости он равен
Как видно из ( 11.10),единица измерения коэффициента диффузии [м2/с]. Уравнение диффузии можно записать не только для плотности А. Эйнштейн показал, что коэффициент диффузии пропорционален температуре:
И поэтому вместо (11.11) имеем В формуле (11.12) и далее ит — подвижность диффундирующих молекул (частиц), выраженная для моля. Вообще говоря, подвижностью диффундирующей частицы (молекулы, атома, иона, электрона) и называют коэффициент пропорциональности между скоростью v частицы и силой f, двигающей частицу, в том случае, когда на частицу не действуют другие силы (например, трение или соударение с другими частицами) и она перемещается равномерно: Как видно из (11.14), единица подвижности 1 м/(с • Н). Величины um и u связаны через постоянную Авогадро: Преобразуем уравнение (11.9) применительно к биологической мембране. Будем считать, что концентрация частиц, диффундирующих через мембрану, изменяется в мембране по линейному закону (рис. 11.11). Молярные концентрации частиц внутри и вне клетки соответственно равны ci и с0. Молярная концентрация этих же частиц в мембране изменяется от внутренней к наружной ее части соответственно от сmi до см0. Учитывая линейное изменение концентрации молекул, запишем где I — толщина мембраны, тогда вместо (11.11) имеем
Практически доступнее определить молярные концентрации частиц не внутри мембраны (cMi и см0), а вне мембраны: в клетке (сi) и снаружи клетки (с0). Считают, что отношение граничных значенийконцентраций в мембране равно отношению концентраций в прилегающих к мембране слоях: см0/сMi = co/ci, откуда где k — коэффициент распределения вещества (частиц) между мембраной и окружающей средой (обычно водная фаза). Из (11.18) следует
Подставляя (11.19) в (11.17), имеем Пусть
где Р — коэффициент проницаемости. В результате получаем уравнение для плотности потока вещества при диффузии через биологическую мембрану: Уравнение Нернста—Планка. Перенос ионов через мембраны
Как известно, на мембране существует разность потенциалов, следовательно, в мембране имеется электрическое поле. Оно оказывает влияние на диффузию заряженных частиц (ионов и электронов). Между напряженностью поля Е и градиентом потенциала dφ/dx существует известное соотношение (см. § 12.1): Заряд иона равен Ze. На один ион действует сила f=Ze(dφ/dx); сила, действующая на 1 моль ионов, равна где F — постоянная Фарадея, F = eNA. Скорость направленного движения ионов пропорциональна действующей силе [см. (11.4), (11.5)]: Чтобы найти поток вещества (ионов), выделим объем электролита (рис. 11.12) в виде прямоугольного параллелепипеда с ребром, численно равным скорости ионов. Все ионы, находящиеся в параллелепипеде, за 1 с пройдут через площадку S. Это и будет поток Ф. Число молей этих ионов
можно найти, умножая объем параллелепипеда (vS) на молярную концентрацию ионов с: Плотность потока вещества найдем, используя формулы (11.24) и (11.25): В общем случае перенос ионов определяется двумя факторами: неравномерностью их распределения, т. е. градиентом концентрации [см. (11.11)], и воздействием электрического поля [см. (11.26)]: Это уравнение Нернста — Планка. Используя выражение для подвижности (11.12), преобразуем уравнение (11.27) к виду Это другая форма записи уравнения Нернста—Планка
Используем уравнение Нернста—Планка для установления зависимости плотности диффузионного потока от концентрации ионов и от напряженности электрического поля. Предположим, система находится в стационарном состоянии, т. е. плотность потока Jпостоянна. Электрическое поле в мембране примем за однородное, следовательно, напряженность поля одинакова, а потенциал линейно изменяется с расстоянием. Это позволит считать, что , где φм — разность потенциалов на мембране. Упростим запись слагаемого в уравнении (11.28): где — — — вспомогательная величина (безразмерный потенциал). С учетом (11.29) получим уравнение Нернста—Планка в виде Разделим переменные и проинтегрируем уравнение: Потенцируя (11.31), получаем откуда
Преобразуем формулу (11.32), учитывая выражения (11.19) и (11.20): Вообще говоря, формула (11.33) справедлива как для положительных (Z > 0, у > 0), так и для отрицательных {Z < 0, ψ < 0) ионов. Однако для отрицательных ионов целесообразно видоизменить это выражение, подставив в него отрицательное значение безразмерного потенциала: Разделим числитель и знаменатель этого выражения на е-ψ: При использовании этой формулы необходимо помнить, что отрицательные значения Z и ψ уже учтены в самой формуле, т. е. ψ— положительная величина. Уравнения (11.33) и (11.34) устанавливают связь плотности стационарного потока ионов с тремя величинами: 1) проницаемостью мембран для данного иона, которая характеризует взаимодействие мембранных структур с ионом; 2) электрическим полем; 3) молярной концентрацией ионов в водном растворе, окружающем мембрану {сi и с0). Проанализируем частные случаи уравнения (11.33): а) ψ = 0, что означает либо Z = 0 (нейтральные частицы), либо отсутствие электрического поля в мембране (φм = 0), либо и то, и другое:
Найдем пределы отдельных сомножителей. 1. Эту неопределенность можно раскрыть по правилу Лопиталя: 2.Отсюда получаем, как и следовало ожидать, уравнение (11.21): б) одинаковая молярная концентрация ионов по разные стороны от мембраны (ci = с0 = с) при наличии электрического поля: Это соответствует электропроводимости в электролите (см. § 12.9). Для нейтральных частиц (Z = 0 и ψ=0) J = 0; в) если мембрана непроницаема для частиц (Р = 0), то, естественно, плотность потока равна нулю.
|