Пример 2. Решение. Оператор A линеен

, .

 

Решение. Оператор A линеен. Докажем неравенство ограниченности:

. (3)

Значит, оператор А ограничен, причем .

В отличие от предыдущих примеров, здесь не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (3) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (3) сколь угодно мало отличались друг от друга. Возьмём вектор (единица стоит на 2 k -м месте). Тогда имеем , откуда (см. решение примера 1). Ввиду произвольности k отсюда следует, что (почему?). Окончательно получаем .

 

в) Оператор взвешенного сдвига.

 

Пример 1. .

Решение. Oчевидно, что оператор A линеен. Докажем его ограниченность:

, (4)

поскольку, как легко проверить, . Следовательно, . Так как при неравенство (4) превращается в равенство, то (см. решения предыдущих примеров). Итак, .

Пример 2. .

 

Решение. Oчевидно, что оператор A линеен. Докажем его ограни-ченность. Имеем

(мы воспользовались тем, что ). Значит, .

Как и в примере 2 пункта б), не существует ненулевого вектора, при котором неравенство (5) превращается в равенство (подумайте, почему). Поэтому будем подбирать ненулевые векторы х так, чтобы обе части (5) сколь угодно мало отличались друг от друга. Возьмём последовательность , состоящую из функций, сосредоточенных в окрестности точки и таких, что . Тогда

.

Значит, . Перейдем в последнем неравенстве к пределу при . Воспользовавшись тем, что при , получим, что

.

Из полученных неравенств следует, что .

 

г) Интегральный оператор, действующий из X в Y.

 

Пример 1. .

Решение. Из свойства линейности интеграла следует, что А – линейный оператор. Далее,

. (6)

Значит, оператор А ограничен, причем . Заметим, что неравенство (6) превращается в равенство при , но эта функция не принадлежит . Возьмем следующую последовательность функций из , которые «похожи» на при больших n (сделайте чертеж):

Легко видеть, что в .

Вычислим в . Так как функция четная, то

.

Следовательно, , а потому .

Окончательно получаем, что .

 

3. Для данных нормированных пространств X, Y,последовательности операторов и оператора установить: 1) сходится ли поточечно (сильно) к оператору А; 2) сходится ли по норме к оператору А.

 

Пример 1. .

Решение. 1) Заметим, что при всех

при

(остаток сходящегося ряда стремится к 0). Значит, последовательность сходится поточечно (то есть сильно) к оператору А.

2) Возьмем вектор из l ₁. Так как , то

Следовательно, не сходится по норме к оператору А.