Примеры решения типовых задач. 1.При каких значениях параметра обратим данный оператор ?1. При каких значениях параметра обратим данный оператор ? Найдите обратный оператор , когда он существует. Пример 1. . Решение. В соответствии с определением обратного оператора рассмотрим уравнение . В нашем случае оно равносильно следующей системе линейных уравнений с параметром: (1) Обратный оператор существует тогда и только тогда, когда эта система имеет единственное решение при любом у из . По правилу Крамера это произойдет тогда и только тогда, когда главный определитель этой системы отличен от нуля. Но легко подсчитать, что . Таким образом, обратный оператор существует тогда и только тогда, когда . Решая при этих значениях параметра систему (1), получим Следовательно, 2. Пусть Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его.
Пример 1.
Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Докажем, что А является биекцией. Рассмотрим уравнение , которое равно-сильно системе уравнений , . Отсюда . (2) Но последовательность ограничена сверху, поскольку является сходящейся: . Если С – одна из ее верхних границ, то , (3) а потому . Мы получили, что для любого уравнение имеет единственное решение х из пространства . Значит, А – биекция. Более того, из (2) следует, что обратный оператор задается формулой Ограниченность этого оператора следует из оценки (см. (3)) .
Пример 2.
Решение. Очевидно, что А – линейный оператор. Запишем его в виде , и рассмотрим уравнение , то есть . (4) Пусть . (5) Тогда (4) примет вид , откуда . Мы получили общий вид решения уравнения (4) с неопределенным коэффициентом с. Подставив это выражение в (5), без труда находим, что . Таким образом, . (6) Итак, для любого уравнение (4) имеет единственное решение из . Значит, оператор А обратим, причем обратный оператор вычисляется по формуле (6). Непрерывность обратного оператора вытекает из теоремы об оценке интеграла. Действительно, по этой теореме при всех t имеем , а потому выполняется неравенство ограниченности (другое доказательство непрерывности получается из (6) с помощью теоремы о предельном переходе под знаком интеграла Римана).
3. Пусть 1) Что представляет собой множество значений оператора А? 2) Существует ли на левый обратный оператор ? 3) Является ли оператор ограниченным (в случае, если он существует)? 4) Существует ли обратный оператор ?
Пример 1. . Решение. Очевидно, что – множество всех точек из пространства , первая координата которых равна нулю. Заметим, что Так как уравнение очевидно имеет только нулевое решение, то . А это, как известно, равносильно тому, что левый обратный оператор существует. Решая уравнение , находим, что . Оператор ограничен, так как . Поскольку , то оператор А не является сюрьекцией. Следовательно, А необратим.
Пример 2. .
Решение. По теореме о дифференцировании интеграла с перемен-ным верхним пределом (теореме Барроу) функция дифференцируема, причем . Значит, . Кроме того, очевидно, что . Обратно, если и , то по формуле Ньютона-Лейбница имеем . Поэтому
Рассмотрим оператор дифференцирования . Поскольку (снова по теореме Барроу) при всех , то – левый обратный для оператора А. Покажем, что не является ограниченным оператором. Допустим противное, т. е. Полагая здесь , получаем . Противоречие. Поскольку , оператор А не является сюръекцией. Следовательно, не существует .
4. Пусть , где – числовой параметр, , Y − банаховы пространства. Выяснить, при каких значениях существует обратный оператор к оператору , и построить его. При каких значениях оператор непрерывно обратим?
|