Тема 3.2

Линейные ограниченные операторы в банаховых пространствах

Ниже X, Y – векторные пространства над полем К (К ).

Определение. Отображение называется линейным оператором, если оно обладает следующим свойством:

.

Определение. Пусть X, Y – нормированные пространства над полем К. Линейный оператор называется ограниченным (пишем ), если существует такое число С, что при всех х из Х выполняется неравенство ограниченности:

.

При этом число С называется константой ограниченности оператора А.

Определение. Пусть X, Y – нормированные пространства над полем К, - ограниченный линейный оператор. Наименьшая из его констант ограниченности называется нормой оператора А и обозначается .

Теорема. Пусть X, Y –нормированные пространства над полем К, - ограниченный линейный оператор. Справедливы следующие равенства:

.

Теорема. Пусть X, Y – нормированные пространства над полем К, линейным оператор. Следующие утверждения равносильны:

1) оператор А непрерывен;

2) оператор А непрерывен в точке 0;

3) оператор А ограничен.

Определение. Пусть X, Y – нормированные пространства над полем К. Говорят, что последовательность сходится по норме (сильно) к ограниченному оператору , если (соответственно при всех х из Х).

Сходимость по норме влечет сильную, но обратное утверждение, вообще говоря, неверно.

 

3.2.1. Пусть X, Y – векторные пространства. Выяснить, совпадет ли область определения оператора А с пространством Х. Является ли оператор А линейным оператором из в Y (таблица 3.2.1)?

Таблица 3.2.1

 

Вариант	Х	Y	A

 

3.2.2. Доказать, что данный оператор А:Х Y умножения на функциюявляется линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 3.2.2).

Таблица 3.2.2

Вариант	Х	Y	A

 

3.2.3. Доказать, что данный оператор А, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 3.2.3).

 

Таблица 3.2.3

Вариант	Х	Y	A

3.2.4. Доказать, что данный оператор взвешенного сдвига А, действующий из Х в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 3.2.4).

 

Таблица 3.2.4

 

Вариант	Х	Y	A

3.2.5. Доказать, что данный интегральный оператор А, действующий из X в Y, является линейным ограниченным, и найти его норму (таблица 3.2.5).

Таблица 3.2.5

 

Вариант	Х	Y	A
	2	3	4

Окончание таблицы 3.2.5

 

	2	3	4

3.2.6. Для данных нормированных пространств X, Y,последовательности операторов и оператора установить: 1) сходится ли поточечно (т. е. сильно) к оператору А;

2) сходится ли по норме к оператору А (таблица 3.2.6).

Таблица 3.2.6

 

Вариант	Х	Y		А