Примеры решения типовых задач. 1. Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?

1. Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?

 

Пример 1. .

 

Решение. Воспользуемся определением выпуклости. Возьмем , и покажем, что . Действительно, так как и , то

.

Значит, множество А является выпуклым.

 

2. Проверить, является ли заданная система векторов в пространстве Х линейно независимой.

 

Пример 1. .

 

Решение. Покажем сначала, что для любого натурального n система

(1)

является линейно независимой. Пусть

(2)

Подставив в это равенство , получим , а потому

.

Сокращая на и снова полагая , получим . Продолжая этот процесс, окончательно будем иметь

.

(Возможно другое решение: алгебраическое уравнение (2) не может иметь более n корней, если не все его коэффициенты равны нулю).

Наконец, так как любая конечная подсистема нашей системы содержится в системе вида (1) при достаточно большом n, то данная бесконечная система тоже линейно независима.

 

Пример 2.

.

 

Решение. Заметим, что

, .

Тогда

,

а значит, данные функции линейно зависимы.

 

3. Привести пример последовательности , сходящейся в Х, но не сходящейся в Y, если пространства Х и Y наделены естественными нормами.

 

Пример 1. .

 

Решение. Рассмотрим последовательность , принадлежащуюпространству . В пространстве она сходится к вектору , так как

при .

Допустим, что . Поскольку

,

то сходится к а и в пространстве . В силу единственности предела отсюда следует, что . Но этот вектор не принадлежит (почему?). Полученное противоречие показывает, что в данная последовательность не сходится.

 

Пример 2.

 

Решение. Рассмотрим в пространстве последовательность

Тогда в имеем

при ,

то есть в .

Допустим, что сходится в к некоторой точке а. В силу неравенства Коши-Буняковского имеем

.

Отсюда следует, что если в , то и в . Следовательно, в силу единственности предела . С другой стороны, легко проверить, что . Получили противоречие. Таким образом, в данная последовательность не сходится.

 

Пример 3.

 

Решение. Рассмотрим последовательность .

В пространстве имеем . С другой стороны,

не стремится к нулю при . Значит, в пространстве последовательность не сходится к нулю. Воспользовавшись очевидным неравенством

и рассуждая, как в предыдущих примерах, получим, что не сходится в ни к какой точке а.

 

4. Выяснить, являются ли нормы p и q эквивалентными в данном пространстве X.

 

Пример 1.

 

Решение. Очевидно, что . Допустим теперь, что

,

то есть

.

При последнее неравенство примет вид

.

Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквива-лентны.

 

Пример 2.

 

Решение. Заметим, что

.

Допустим теперь, что , то есть

.

Возьмем здесь . Тогда последнее неравенство примет вид , то есть . Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквивалентны.

 

Пример 3. .

 

Решение. Так как при всех справедливо неравенство

,

то , то есть .

С другой стороны, так как

,

то , т.е. .

Итак, мы доказали, что p и q – эквивалентные нормы.

 

Пример 4. .

 

Решение. В силу неравенства Коши-Буняковского

.

Допустим, что . Положим в последнем неравенстве

Так как , то это неравенство примет вид

,

что невозможно ни при каком a. Значит, нормы p и q не эквивалентны.

 

5. Построить изоморфизм между факторпространством L/M и одним из стандартных линейных пространств.

 

Пример 1.

 

Решение. Возьмем произвольный элемент с. Его класс эквивалентности есть

.

Это равенство показывает, что отображение задаваемое формулой , определено корректно и является инъективным (почему?). Кроме того, оно линейно и сюръективно (проверьте это). Значит, – изоморфизм линейных пространств и .