Примеры решения типовых задач. 1. Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?1. Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?
Пример 1. .
Решение. Воспользуемся определением выпуклости. Возьмем , и покажем, что . Действительно, так как и , то
. Значит, множество А является выпуклым.
2. Проверить, является ли заданная система векторов в пространстве Х линейно независимой.
Пример 1. .
Решение. Покажем сначала, что для любого натурального n система (1) является линейно независимой. Пусть (2) Подставив в это равенство , получим , а потому . Сокращая на и снова полагая , получим . Продолжая этот процесс, окончательно будем иметь . (Возможно другое решение: алгебраическое уравнение (2) не может иметь более n корней, если не все его коэффициенты равны нулю). Наконец, так как любая конечная подсистема нашей системы содержится в системе вида (1) при достаточно большом n, то данная бесконечная система тоже линейно независима.
Пример 2. .
Решение. Заметим, что , . Тогда , а значит, данные функции линейно зависимы.
3. Привести пример последовательности , сходящейся в Х, но не сходящейся в Y, если пространства Х и Y наделены естественными нормами.
Пример 1. .
Решение. Рассмотрим последовательность , принадлежащуюпространству . В пространстве она сходится к вектору , так как при . Допустим, что . Поскольку , то сходится к а и в пространстве . В силу единственности предела отсюда следует, что . Но этот вектор не принадлежит (почему?). Полученное противоречие показывает, что в данная последовательность не сходится.
Пример 2.
Решение. Рассмотрим в пространстве последовательность Тогда в имеем при , то есть в . Допустим, что сходится в к некоторой точке а. В силу неравенства Коши-Буняковского имеем . Отсюда следует, что если в , то и в . Следовательно, в силу единственности предела . С другой стороны, легко проверить, что . Получили противоречие. Таким образом, в данная последовательность не сходится.
Пример 3.
Решение. Рассмотрим последовательность . В пространстве имеем . С другой стороны, не стремится к нулю при . Значит, в пространстве последовательность не сходится к нулю. Воспользовавшись очевидным неравенством и рассуждая, как в предыдущих примерах, получим, что не сходится в ни к какой точке а.
4. Выяснить, являются ли нормы p и q эквивалентными в данном пространстве X.
Пример 1.
Решение. Очевидно, что . Допустим теперь, что , то есть . При последнее неравенство примет вид . Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквива-лентны.
Пример 2.
Решение. Заметим, что . Допустим теперь, что , то есть . Возьмем здесь . Тогда последнее неравенство примет вид , то есть . Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквивалентны.
Пример 3. .
Решение. Так как при всех справедливо неравенство , то , то есть . С другой стороны, так как , то , т.е. . Итак, мы доказали, что p и q – эквивалентные нормы.
Пример 4. .
Решение. В силу неравенства Коши-Буняковского . Допустим, что . Положим в последнем неравенстве
Так как , то это неравенство примет вид , что невозможно ни при каком a. Значит, нормы p и q не эквивалентны.
5. Построить изоморфизм между факторпространством L/M и одним из стандартных линейных пространств.
Пример 1.
Решение. Возьмем произвольный элемент с. Его класс эквивалентности есть . Это равенство показывает, что отображение задаваемое формулой , определено корректно и является инъективным (почему?). Кроме того, оно линейно и сюръективно (проверьте это). Значит, – изоморфизм линейных пространств и .
|