Студопедия — Примеры решения типовых задач. 1. Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1. Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?






1. Является ли множество А выпуклым в пространстве Х?

 

Пример 1. .

 

Решение. Воспользуемся определением выпуклости. Возьмем , и покажем, что . Действительно, так как и , то

.

Значит, множество А является выпуклым.

 

2. Проверить, является ли заданная система векторов в пространстве Х линейно независимой.

 

Пример 1. .

 

Решение. Покажем сначала, что для любого натурального n система

(1)

является линейно независимой. Пусть

(2)

Подставив в это равенство , получим , а потому

.

Сокращая на и снова полагая , получим . Продолжая этот процесс, окончательно будем иметь

.

(Возможно другое решение: алгебраическое уравнение (2) не может иметь более n корней, если не все его коэффициенты равны нулю).

Наконец, так как любая конечная подсистема нашей системы содержится в системе вида (1) при достаточно большом n, то данная бесконечная система тоже линейно независима.

 

Пример 2.

.

 

Решение. Заметим, что

, .

Тогда

,

а значит, данные функции линейно зависимы.

 

3. Привести пример последовательности , сходящейся в Х, но не сходящейся в Y, если пространства Х и Y наделены естественными нормами.

 

Пример 1. .

 

Решение. Рассмотрим последовательность , принадлежащуюпространству . В пространстве она сходится к вектору , так как

при .

Допустим, что . Поскольку

,

то сходится к а и в пространстве . В силу единственности предела отсюда следует, что . Но этот вектор не принадлежит (почему?). Полученное противоречие показывает, что в данная последовательность не сходится.

 

Пример 2.

 

Решение. Рассмотрим в пространстве последовательность

Тогда в имеем

при ,

то есть в .

Допустим, что сходится в к некоторой точке а. В силу неравенства Коши-Буняковского имеем

.

Отсюда следует, что если в , то и в . Следовательно, в силу единственности предела . С другой стороны, легко проверить, что . Получили противоречие. Таким образом, в данная последовательность не сходится.

 

Пример 3.

 

Решение. Рассмотрим последовательность .

В пространстве имеем . С другой стороны,

не стремится к нулю при . Значит, в пространстве последовательность не сходится к нулю. Воспользовавшись очевидным неравенством

и рассуждая, как в предыдущих примерах, получим, что не сходится в ни к какой точке а.

 

4. Выяснить, являются ли нормы p и q эквивалентными в данном пространстве X.

 

Пример 1.

 

Решение. Очевидно, что . Допустим теперь, что

,

то есть

.

При последнее неравенство примет вид

.

Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквива-лентны.

 

Пример 2.

 

Решение. Заметим, что

.

Допустим теперь, что , то есть

.

Возьмем здесь . Тогда последнее неравенство примет вид , то есть . Полученное противоречие показывает, что нормы p и q не эквивалентны.

 

Пример 3. .

 

Решение. Так как при всех справедливо неравенство

,

то , то есть .

С другой стороны, так как

,

то , т.е. .

Итак, мы доказали, что p и q – эквивалентные нормы.

 

Пример 4. .

 

Решение. В силу неравенства Коши-Буняковского

.

Допустим, что . Положим в последнем неравенстве

Так как , то это неравенство примет вид

,

что невозможно ни при каком a. Значит, нормы p и q не эквивалентны.

 

5. Построить изоморфизм между факторпространством L/M и одним из стандартных линейных пространств.

 

Пример 1.

 

Решение. Возьмем произвольный элемент с. Его класс эквивалентности есть

.

Это равенство показывает, что отображение задаваемое формулой , определено корректно и является инъективным (почему?). Кроме того, оно линейно и сюръективно (проверьте это). Значит, – изоморфизм линейных пространств и .








Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 863. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Механизм действия гормонов а) Цитозольный механизм действия гормонов. По цитозольному механизму действуют гормоны 1 группы...

Алгоритм выполнения манипуляции Приемы наружного акушерского исследования. Приемы Леопольда – Левицкого. Цель...

ИГРЫ НА ТАКТИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ Методические рекомендации по проведению игр на тактильное взаимодействие...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия