Пример 1. Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение , т

.

 

Решение. Для нахождения обратного оператора рассмотрим в уравнение , т. е. линейное дифференциальное уравнение

. (7)

Нужно выяснить, при каких значениях у этого уравнения для любого существует единственное решение . Другими словами, для любого краевая задача

(8)

для уравнения (7) должна иметь единственное непрерывно дифференцируемое решение. Воспользовавшись формулой для общего решения линейного дифференциального уравнения первого порядка, получим общее решение уравнения (7):

. (9)

Требуется узнать, при каких для любого найдется такое С, при котором формула (9) дает решение задачи (8). Подставив (9) в (8), получим после упрощений

. (10)

Возможны два случая.

а) . Тогда уравнение (11) имеет единственное решение

для любого . Следовательно, при этих существует обратный оператор, который мы найдем, подставив это значение С в равенство (9):

.

В силу теоремы Банаха об обратном операторе непрерывность этого оператора будет следовать из непрерывности оператора . Последний же факт легко доказать по Гейне. Действительно, если в пространстве , то это значит, что и равномерно на . Но тогда и равномерно на ;

б) . В этом случае уравнение (10) имеет вид

.

Но правая часть этого уравнения при некоторых непрерывных у (например, при ) не будет равна 0. Следовательно, при этих у последнее уравнение не имеет решения (относительно С), а потому оператор не является сюръективным.

Итак, обратный к оператору существует тогда и только тогда, когда . Причем при таких значениях оператор непрерывно обратим.