Линейные нормированные пространства

Линейные нормированные пространства и

Всюду ниже Х – векторное пространство над полем К (К = , ).

Определение. Пусть . Выражение

называется линейной комбинацией векторов с коэффициентами .

Определение. Конечная система называется линейно независимой, если равенство

возможно лишь при . В противном случае она называется линейно зависимой.

Определение. Бесконечная система векторов из называется линейно независимой, если каждая ее конечная подсистема линейно независима.

Определение. Пусть – векторные пространства над полем К. Отображение называется изоморфизмом векторных пространств, если оно

1) биективно;

2) линейно, т.е. удовлетворяет тождеству

Определение. Пусть . Отрезком в Х с концами х и у называется множество

.

Определение. Подмножество называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками х и у оно содержит и весь отрезок [ x,y ].

Теорема-определение. Пусть - подпространство пространства . Семейство , состоящее из множеств вида

,

является векторным пространством относительно операций

Оно называется факторпространством пространства Х по подпространству М.

Определение. Отображение называется нормой, если она обладает следующими свойствами:

1) ;

2)

3)

Часто вместо пишут .

Определение. Если в предыдущем определении заменить аксиому 1) более слабой:

то получим определение полунормы.

Определение. Векторное пространство Х, наделенное норомой, называется нормированным.

Каждое нормированное пространство становится метрическим при наделении его естественной метрикой

.

Таким образом, к нормированным пространствам применимы все понятия и результаты теории метрических пространств.

Определение. Две нормы p и q в векторном пространстве Х называются эквивалентными, если существуют такие положительные числа a и b, что при всез х из Х выполняются неравенства

 

3.1.1. Проверить, является ли функция p полуноромой, нормой в пространстве X (таблица 3.1.1).

 

Таблица 3.1.1

 

Вариант	X	p(x)
1	2	3

 

 

Окончание таблицы 3.1.1

 

1	2	3

 

3.1.2. Является ли множество А выпуклым в пространстве X (таблица 3.1.2)?

 

Таблица 3.1.2

 

Вариант	X	A
1	2	3
		неубывающие функции
		многочлены степени n
		многочлены степени k

 

Окончание таблицы 3.1.2

 

1	2	3

 

3.1.3. Проверить, является ли последовательность векторов в пространстве X линейно независимой (таблица 3.1.3).

 

Таблица 3.1.3

 

Вариант	X
		функция Дирихле

3.1.4. Привести пример последовательности , которая сходится в X, но не сходится в Y, если пространства X и Y наделены естественными нормами (таблица 3.1.4).

 

Таблица 3.1.4

 

Вариант	X	Y	Вариант	X	Y

3.1.5. Являются ли нормы p и q эквивалентными в пространстве E (таблица 3.1.5)?

 

Таблица 3.1.5

 

Вариант	E	p	q
	с

3.1.6. Построить изоморфизм между факторпространством L/M и

одним из стандартных линейных пространств (таблица 3.1.6).

Таблица 3.1.6

 

Вариант	L	M