Обратные операторы

Определение. Пусть X, Y – векторные пространства над полем К, - линейный оператор. Оператор А называется обратимым, если уравнение

(1)

при любом у из имеет единственное решение х из Х.

При этом отображение , ставящее в соответствие каждому у из решение х уравнения (1), называется оператором, обратным к А.

Оператор имеет обратный тогда и только тогда, когда он биективен.

Ниже - множество значений (образ) оператора А, Ker A:= – ядро (множество нулей) оператора А.

Определение. Оператор , удовлетворяющий условию ВА=I_X, называется левым обратным к А.

Лемма. ПустьX, Y – векторные пространства над К, - линейный оператор. Следующие утверждения равносильны:

1) оператор А имеет левый обратный;

2) оператор А инъективен;

3)Ker A={0}.

Для нахождения левого обратного решают уравнение (1) с

Теорема (Банаха об обратном операторе). ПустьX, Y – банаховы пространства над полем , - ограниченный линейный оператор. Если оператор А обратим, то его обратный тоже ограничен.

 

3.3.1. При каких значениях параметра обратим данный оператор ? Найдите обратный оператор , когда он существует (таблица 3.3.1).

Таблица 3.3.1

 

Вариант	A
1	2

Окончание таблицы 3.3.1

 

1	2

3.3.2. Пусть . Доказать, что существует непрерывный обратный оператор , и построить его (таблица 3.3.2).

 

Таблица 3.3.2

 

Вариант	X	Y	A
1	2	3	4

Окончание таблицы 3.3.2

1	2	3	4

3.3.3. Пусть .

1) Что представляет собой множество значений оператора А?

2) Существует ли на левый обратный оператор ?

3) Является ли оператор ограниченным, если он существует?

4) Существует ли обратный оператор (таблица 3.3.3)?

Таблица 3.3.3

 

Вариант	X	Y	A
1	2	3	4

Окончание таблицы 3.3.3

1	2	3	4

3.3.4 Пусть , где – числовой параметр, , Y − банаховы пространства. Выяснить, при каких значениях существует обратный оператор к оператору , и построить его. При каких значениях оператор непрерывно обратим? (таблица 3.3.4)?

 

Таблица 3.3.4

 

Вариант		Y	х
1	2	3	4

 

Окончание таблицы 3.3.4

 

1	2	3	4