Примеры решения типовых задач. 1.Пусть X, Y – векторные пространства

1. Пусть X, Y – векторные пространства. Выяснить, совпадет ли область определения оператора А с пространством Х. Является ли оператор А линейным оператором из в Y?

Пример 1. .

 

Решение. Если , то = . Поэтому в силу неравенства Коши-Буняковского

. (1)

Отсюда следует, что . Таким образом, .

Оператор А не является линейным (рассмотрите, например, ).

Хотя это и не требуется по условию задачи, исследуем оператор А на непрерывность. Для любой точки оценим расстояние

(мы воспользовались числовым неравенством , а затем неравенством (1)). Поэтому для любого получаем при что для любого из неравенства следует неравенство . Стало быть, оператор A непрерывен на .

Пример 2. .

 

Решение. В этом примере , так как, например, , но (в обоих случаях сходимость соответствующего ряда исследуется с помощью интегрального признака; докажите это).

Очевидно, A является линейным оператором (проверьте).

Хотя это и не требуется по условию задачи, исследуем оператор А на непрерывность, что равносильно исследованию его ограниченности. Докажем, что A не является ограниченным. Допустим противное, т.е. что . Полагая в последнем неравенстве , получаем

, т.е. .

Поскольку частичные суммы гармонического ряда не являются ограниченными, мы пришли к противоречию. Значит, оператор A не является непрерывным.

 

Пример 3. .

 

Решение. Пусть (тогда ). Оценка

,

показывает, что . Значит, .

Легко проверить, что А линеен (проверьте). Докажем, что А ограничен. Используя предыдущее неравенство, получаем

.

Наконец, как известно, из ограниченности оператора А следуетего непрерывность.

 

Пример 4. .

 

Решение. Здесь , так как, например, последовательность принадлежит Х, но . Далее, оператор A не является линейным (как в примере 1). Докажем, что он не является непрерывным. Действительно, возьмём следующую последовательность точек из :

Тогда в , так как

при .

В то же время,

.

Таким образом, из того, что , не следует, что . Мы показали, что А не является непрерывным в нуле, значит, A не является непрерывным на .

 

Пример 5. .

 

Решение. Очевидно, что и что A нелинеен. Покажем, что A не является непрерывным в нуле. Возьмём последовательность точек пространства . Она сходится к 0, так как при . В то же время,

при .

То есть из того, что , не следует, что . Таким образом, оператор A не является непрерывным на .

 

2. Доказать, что оператор является линейным ограниченным, и найти его норму.

 

а) Оператор умножения на функцию, действующий из X в Y.

 

Пример 1. .

 

Решение. Ясно, что A − линейный оператор (проверьте).

Далее, так как

, (2)

то A ограничен с константой ограниченности . А поскольку норма оператора есть наименьшая из констант ограниченности, то .

Докажем теперь противоположное неравенство, т. е. что . Для этого постараемся подобрать такой ненулевой вектор , для которого неравенство (2) превращается в равенство.Возьмём . Тогда, как легко подсчитать,

.

Теперь из формулы следует, что .

Сопоставляя полученные неравенства, заключаем, что .

 

б) Оператор, действующий из в .

 

Пример 1. .

 

Решение. Ясно, что A − линейный оператор. Так как

,

то оператор A ограничен, причем .

С другой стороны, для точки имеем . Значит, (почему?).

Из полученных неравенств следует, что .