Тема 13. Случайные величины и их числовые характеристики

гл. 6. § 1—3, гл. 7. 8. 10. 11;

[7] № 165. 176. 188. 210, 254. 263, 276, 328, 341.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 20. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:

Х 40 42 41 44

Р 0,1 0,3 0,2 0,4

Найти: 1) математическое ожидание М(Х);2) дисперсию D(Х); 3) среднее квадратическое отклонение .

Решение. 1) Если закон распределения дискретной случайной величины задан таблицей

Х …

Р … ,

где в первой строке даны значения случайной величины X, а во второй - вероятности этих значений, то математическое ожидавшие М(Х) вычисляется по формуле

М(Х) = .

Тогда М(Х) = .

2) Дисперсией D(X) дискретной случайной величины X называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, т. е.

.

Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения X от М(Х). Из последней формулы имеем

Дисперсию D(Х) можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: дисперсия D(Х) равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной ве­личины X и квадратом ее математического ожидания М(Х), то есть

.

Для вычисления М (X²) составим следующий закон распреде­ления величины Х

Х 40 42 41 44

Р 0,1 0,3 0,2 0,4

Тогда

и

D(X)=1799.8-42.4

3) Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение случайной величи­ны X, равное квадратному корню из дисперсии D(Х), то есть

.

Из этой формулы имеем: .

Задача 21. Непрерывная случайная величина X задана ин­тегральной функцией распределения

Найти: 1) дифференциальную функцию распределения f(x);2)математическое ожидание М (Х); 3) дисперсию D (X).

Решение. 1) Дифференциальной функцией распределенияf(x)непрерывной случайной величины X называется про­изводная от интегральной функции распределения F(х), то есть

F(x)=F’(x).

Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид:

f(x)=

2) Если непрерывная случайная величина Х задана функцией f(x), то ее математическое ожидание определяется формулой

М(Х)= .

Так как функция f(х) при х равна нулю, то из последней формулы имеем М(Х)= f(x) dx= dx=

3) Дисперсию D(Х) определим по формуле

D(Х)= .

 

Тогда

D(Х)=

Задача 22. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожи­данием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Найти: 1) вероятность того, что длина произвольно взятой де­тали будет больше 34 мм и меньше 43 мм; 2) вероятность то­го, что длина детали отклонится от ее математического ожи­дания не более чем 1,5 мм.

Решение: 1) Пусть X — длина детали. Если случайная величина X задана дифференциальной функцией f(х), то ве­роятность того, что X примет значения, принадлежащие отрез­ку [ ; ], определяется по формуле

P f(x)dx.

Вероятность выполнения строгих неравенств опреде­ляется той же формулой. Если случайная величина X распре­делена по нормальному закону, то

, (1)

Где Ф(х) - функция Лапласа, а=М(х), D(x).

В задаче а = 40, = 34, =43, =3. Тогда

2) По условию задачи , где а = 40; =1,5.

Подставив в (1) , ,имеем

,то есть

(2)

Из формулы (2) имеем:

.

 

Вопросы для самопроверки

1. Какие случайные величины называются дискретными? непрерывными? Приведите примеры.

2. Что называется законом распределения случайной ве­личины? Как задается закон распределения дискретной слу­чайной величины?

3. Что называется математическим ожиданием дискрет­ной случайной величины? ее дисперсией? средним квадратическим отклонением? Перечислите их свойства.

4. Дайте определение интегральной функции распределе­ния; дифференциальной функции распределения. Перечисли­те свойства этих функций.

5. Как вычисляются математическое ожидание и диспер­сия непрерывной случайной величины?

6. Напишите дифференциальную функцию для нормаль­ного закона распределения.

7. Напишите формулу для определения вероятности по­падания значений нормально распределенной случайной ве­личины в заданный интервал.

8. Сформулируйте правило «трех сигм».

9. Назовите сущность закола больших чисел.

10. Напишите неравенство Чебышева.

11. Сформулируйте теорему Чебышева; теорему Бернулли.