| В этом параграфе мы введем и изучим понятия фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы (ЛОС) и покажем, что операторы gt 0 t, K t 0 и gt 0 t выражаются через фундаментальную матрицу. Общего способа для отыскания фундаментальной матрицы системы с переменными коэффициентами нет, однако сам факт ее существования играет в теории дифференциальных уравнений важную роль.
|
3.2.1. Утверждение о структуре множества решений ЛОС. Рассматривается линейная однородная система
Пусть E — множество всех ее решений на промежутке J, а φ = {φ1,..., φ n } ⊂ E. Утверждается, что:
1) E — n-мерное подпространство пространства C 1 непрерывно дифференцируемых на J функций со значениями в K n;
2) следующие утверждения эквивалентны
| ∃(t 0 ∈ J)[φ(t 0) = {φ1(t 0), φ2(t 0),..., φ n (t 0)} — базис в K n ],
| (2)
|
| ∀(t 0 ∈ J)[φ(t 0) = {φ1(t 0), φ2(t 0),..., φ n (t 0)} — базис в K n ].
| (3)
|
| Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение 1) вытекает из свойств мономорфизма (см. п. 3.1.4), поскольку E = Gt 0(K n) ⊂ C 1. Далее, импликация (2) ⇒ (1) следует из того, что мономорфизм Gt 0 переводит базис в базис. Поскольку импликация (3) ⇒ (2) очевидна, остается доказать, что (1) ⇒ (3). Но это следует из того жеутверждения о свойствах мономорфизмов, примененного к обратному оператору Gt 0–1.
|
Заметим, что для произвольного набора функций φ k, не связанных с (ЛОС), импликация (1) ⇒ (3) может быть ложной. Например, скалярные функции φ1(t) ≡ 1,φ2(t) ≡ t на [0, 1] линейно независимы, а их значения в любой точке t 0 линейно зависимы.
| 3.2.2. Определение фундаментальной системы решений и фундаментальной матрицы. Фундаментальной системой решений (ЛОС) называется любой базис в пространстве решений E. Фундаментальная матрица Φ(t) — матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений. Фундаментальная матрица Φ t 0(t), нормальная в точке t 0, выделяется из множества всех фундаментальных матриц условием Φ t 0(t) = I (I — единичная матрица).
|
