Обратная матрица

Определение. Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если

.

Из определения следует, что если матрица А имеет обратную, то обе они должны быть квадратными матрицами одного порядка.

Из определения следует, что если матрица В является обратной по отношению к матрице А, то и матрица А является обратной по отношению к матрице А.

Определение. Матрица имеющая обратную матрицу называется обратимой.

Теорема. Если квадратная матрица А имеет обратную, то она единственная.

Доказательство. Пусть В и С – две матрицы обратные к матрице А. Тогда и . Имеем,

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Заметим, что точно также доказывается единственность симметричного элемента в любой полугруппе при условии его существования.

Обозначение: если матрица А обратимая, то обратная к ней обозначается (мы можем это сделать в силу ее единственности) через .

Заметим, что если матрица А обратимая, то обратная к ней матрица также является обратимой.

Обозначение. Множество всех обратимых матриц n-го порядка над полем K обозначается через

.

Теорема. (Свойства обратных матриц.)

1. Произведение обратимых матриц одного и того же порядка является обратимой матрицей:

, и .

2. Единичная матрица является обратимой, т.е. если Е – единичная матрица n-го порядка, то

и .

3. Если А обратимая, то и также является обратимой, т.е. если , то и .

Доказательство. 1) Пусть А и В – обратимые матрицы и , – обратные к ним. Покажем, что произведение является матрицей обратной к произведению :

.

Аналогично получаем . Следовательно, матрица АВ имеет обратную и . Отсюда следует, что матрица АВ является обратимой, т.е. , ч.т.д.

2) Так как , то по определению, , т.е. единичная матрица имеет обратную и, следовательно, единичная матрица является обратимой и .

3) Действительно, из определения следует, что матрица А является обратной по отношению к матрице , следовательно, матрица обратимая и . Более того, в силу единственности обратной матрицы следует, что

.

Теорема доказана.

Следствие. Множество является некоммутативной группой относительно умножения.

Доказательство. На множестве умножение матриц является внутренней бинарной алгебраической операцией, поэтому осталось лишь проверить аксиомы группы.

1) Ассоциативность умножения в множестве выполняется потому что умножение квадратных матриц ассоциативно (см теорему о свойствах умножения матриц).

Далее, в предыдущей теореме доказано, что:

2) единичная матрица ;

3) существует обратная ей .

Следствие доказано.

Определение. Обратимая квадратная матрица называется также неособой или невырожденной. Если квадратная матрица не имеет обратной, то она называется особой или вырожденной.

Замечание. Легко доказать существование особых матриц. Например, матрица

является особой (вырожденной, необратимой). Действительно, если бы она была обратимой, то существовала бы обратная к ней и . Пусть далее, . Тогда и отсюда получаем

или , т.е. получаем противоречие.

Аналогично, легко показать существование особых матриц любого порядка. Отсюда следует вывод, что не все квадратные матрицы являются обратимыми.

В дальнейшем, мы найдем необходимое и достаточное условие обратимости квадратной матрицы любого порядка и не только докажем существование обратимых матриц, отличных от единичной матрицы, но и выведем формулу для ее вычисления.