Алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложения определителя по строке.
Невырожденной матрицей называется квадратная матрица -го порядка, определитель которой отличен от нуля. В противном случае матрица называется вырожденной. Определение. Матрицей, союзной к матрице , называется матрица
,
где ij – алгебраическое дополнение элемента ij данной матрицы . Напомним, что матрица -1 называется обратной матрице , если выполняется условие -1 -1 , где – единичная матрица того же порядка, что и матрица . Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть Составим союзную матрицу и инайдем произведение матриц A,A* Здесь мы использовали свойства 7 и 8 определителей (см. п. 2.2). Аналогично убеждаемся, что Равенства (3.2) и (3.3) перепишем в виде Сравнивая полученные результаты с определением (3.1), получаем
|