Транспонирование матрицыНад матрицами определена еще одна операция, называемая транспонированием. Определение 14.5 Пусть -- матрица размеров . Тогда транспонированной матрицей называется такая матрица размеров , что , , . Транспонированная матрица обозначается или . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом -- вторая строка исходной матрицы и т.д. Например, Читатель легко проверит, что где -- число. Предложение 14.5 Если произведение определено, то
Доказательство. Пусть -- матрица размеров , -- матрица размеров . Тогда имеет размеры , -- размеры . Число столбцов в совпадает с числом строк в , поэтому произведение на определено. Размеры этого произведения . Матрица имеет размеры , поэтому -- матрица размеров . Итак, матрицы в правой и левой части равенства (14.8) существуют и имеют одинаковые размеры. Пусть , , , , . Нам нужно показать, что , , . По определению транспонирования . По определению умножения матриц
С другой стороны, Поэтому Сравнивая полученный результат с (14.9), получаем .
|