Рациональные корни многочлена с целыми коэффициентами. Пример. Основная теорема алгебры.

Рациональные корни многочленов с целыми коэффициентами

Прежде, чем дать общую формулировку теоремы о рациональных корнях многочленов с целыми коэффициентами, решим следующую задачу.

Задача. Найти все корни уравнения

являющиеся рациональными числами.

Решение. Предположим, что рассматриваемое уравнение имеет корень, являющийся рациональным числом. Тогда, поскольку каждое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби

,

где – число целое, а – число натуральное, то выполняется равенство:

Умножая это равенство на , получаем равенство:

(1)

Теперь преобразуем равенство (1):

Отсюда вытекает, что число нацело делится на число . А из этого, в свою очередь, следует, что, поскольку числа и не имеют общих простых делителей, то число является делителем числа 2. Таким образом, число равно 1 или 2.

Теперь преобразуем равенство (1) по-другому:

Значит, число нацело делится на число . А из этого, в свою очередь, следует, что, так как числа и не имеют общих простых делителей, то число является делителем числа 3. Таким образом, число может быть равно: -1,1,-3 или 3.

Далее, рассматривая все возможные комбинации чисел и , получаем, что дробь

может принимать только следующие значения:

Таким образом, если у исходного уравнения и есть рациональный корень, то искать его нужно среди полученных шести чисел. Других рациональных корней у исходного уравнения быть не может.

Подставляя поочередно каждое из этих чисел в исходное уравнение, получаем, что корнем уравнения является лишь число .

Оставляя читателю проверку того, что другие числа корнями исходного уравнения не являются, покажем, что число действительно является его корнем:

Ответ. Число является единственным рациональным корнем исходного уравнения.

Замечание. Для того, чтобы найти все остальные корни исходного уравнения, нужно, воспользовавшись теоремой Безу, разделить многочлен

на двучлен

В результате деления получится квадратный трехчлен

после чего остается лишь решить квадратное уравнение:

Теорема. Если рациональное число (несократимая дробь)

,

где – число целое, а – число натуральное, является корнем многочлена -ой степени

все коэффициенты

которого являются целыми числами, то числитель дроби является делителем коэффициента , а знаменатель дроби является делителем коэффициента .

Коэффициент называют старшим коэффициентом многочлена, а коэффициент - свободным членом многочлена.

 

Основная теорема алгебры. Всякий многочлен с любыми комплексными коэффициентами, степень которого неменьше единицы имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.