Определение поля

Рассмотрим систему

a₁x + b₁y + c₁z = 0,

a₂x + b₂y + c₂z = 0,

a₃x + b₃y + c₃z = 0.

 

Эта система называется однородной.

Однородная система всегда имеет решение: x = y = z = 0 (тривиальное решение). C другой стороны, если определитель системы ∆ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Следовательно, при ∆ ≠ 0 тривиальное решение является единственным.

Если ∆ = 0, то система либо не имеет решений, либо имеет бесконечное множество решений. Но однородная система не может не иметь решений (x = y = z = 0 – решение), следовательно, при ∆ = 0 однородная система имеет бесконечное множество решений.

П р и м е р. 2x + 3y – 5z = 0, ∆ = 0.

x + 3y – 2z = 0,

3x + 6y – 7z = 0.

x + 3y - 2z = 0, y = - ^z/₃, x = -3y + 2z = 3z. Ответ: x = 3z, y = -^z/₃, z = z, где z –любое

- 3y – z = 0. действительное число.

 

Определение поля

Определение. Полем называется непустое множество, для элементов которого определено два действия, называемых сложением и умножением, которые удовлетворяют следующим аксиомам:

1. (коммутативность сложения);

2. (ассоциативность сложения);

3. (существование нуля);

4. (существование противоположного элемента);

5. (коммутативность умножения);

6. (ассоциативность умножения);

7. (существование единицы);

8. (существование обратного элемента);

9. (дистрибутивность);

10. (в поле должно существовать хотя бы два элемента).

Пример. Поля: – поле вещественных чисел, – поле рациональных чисел,