Доказательство.

Пусть — произвольный элемент . По аксиоме 4, — корень квадратного уравнения с коэффициентами из

Если — вещественное число, то его можно представить в виде . Пусть не является вещественным числом. Тогда квадратное уравнение не имеет вещественных корней и имеет отрицательный дискриминант.

В любом случае имеет требуемый вид.

Докажем единственность.

Предположим, что . Тогда

Пусть . Тогда

Получаем, что . Это невозможно, значит, . Тогда .

2. Алгебраическая запись комплексного числа. Операции над комплексными числами, их св-ва?

Комплексные числа записываются в виде: a+ bi. Здесь a и b – действительные числа, а i – мнимая единица, т.e. i ² = –1.Число a называется абсциссой, a b – ординатой комплексного числа a+ bi. Два комплексных числа a+ bi и a – bi называются сопряжёнными комплексными числами.

Основные договорённости:

1. Действительное число а может быть также записано в форме комплексного числа: a+ 0 i или a – 0 i. Например, записи 5 + 0 i и 5 – 0 i означают одно и то же число 5.

 

2. Комплексное число 0 + bi называется чисто мнимым числом. Запись bi означает то же самое, что и 0 + bi.

 

3. Два комплексных числа a+ bi и c+ di считаются равными, если a= c и b= d. В противном случае комплексные числа не равны.

 

Сложение. Суммой комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число (a+ c) + (b+ d) i. Таким образом, при сложении комплексных чисел отдельно складываются их абсциссы и ординаты.

Это определение соответствует правилам действий с обычными многочленами.

 

Вычитание. Разностью двух комплексных чисел a+ bi (уменьшаемое) и c+ di (вычитаемое) называется комплексное число (a – c) + (b – d) i.

Таким образом, при вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитаются их абсциссы и ординаты.

 

Умножение. Произведением комплексных чисел a+ bi и c+ di называется комплексное число:

(ac – bd) + (ad + bc) i. Это определение вытекает из двух требований:

 

1) числа a+ bi и c+ di должны перемножаться, как алгебраические двучлены,

2) число i обладает основным свойством: i ² = – 1.

 

П р и м е р. (a+ bi)(a – bi) = a ² + b ². Следовательно, произведение

двух сопряжённых комплексных чисел равно действительному

положительному числу.

Деление. Разделить комплексное число a+ bi (делимое) на другое c+ di (делитель) - значит найти третье число e+ f i (чатное), которое будучи умноженным на делитель c+ di, даёт в результате делимое a+ bi.

Если делитель не равен нулю, деление всегда возможно.

П р и м е р. Найти (8 + i): (2 – 3 i).

Р е ш е н и е. Перепишем это отношение в виде дроби:

Умножив её числитель и знаменатель на 2 + 3 i

и выполнив все преобразования, получим:

 

 

3. Сопряжения и его свойства?

Представление комплексного числа в виде называется каноническим представлением комплексного числа. Число называется вещественной частью числа

Число называется мнимой частью числа

Если , то число называется мнимым числом. Если , то называется чисто мнимым числом.

Число называется сопряженным с .