Замкнутом круге Е достигает своего минимума и максимума.

 

Доказательство основной теоремы. Лемма №1. Надо доказать, что | f(x₀+x)-f(x₀) |< e. Докажем Лемму №1 сначала для многочлена без свободного члена и при x₀=0Если A=max(|a₀ |,|a₁|,.,|a _n-1|) и (1)то |f(x)|=|a₀xⁿ+.+a_n-1x| , т.к | x |< б,и из (1) б<1, тот.к. a₀=0 то f(0)=0 Что и требовалось доказать.Теперь докажем непрерывность любого многочлена.f(x₀+x)=a₀(x₀+x)ⁿ+.+a_n pаскрывая все скобки по формуле бинома и собирая вместе члены содинаковыми степенями x получим Многочлен g(x)-это многочлен от x при x₀ =0 и а₀=0 |f(x₀+x)-f(x)|=|g(x)|<e Лемма доказана. Лемма №2 Если дан многочлен n -ой степени, n>0, f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+.+a_n с произвольными комплексными коэффициентами и если k - любоеположительное действительное число, то для достаточно больших по модулюзначений x верно неравенство: |a₀xⁿ|>k|a₁x^n-1+a₂x^n-2+..+a_n| (2) Доказательсво. Пусть А=max( ), тогда пологая | x| >1, получим откуда следовательно неравенство (2) будет выполняться если |x|>1 и Лемма №2 доказана. Лемма №3. Доказательство. (3)применим лемму 2: при k=2 существует такое N₁, что при |x|> N₁ |a₀xⁿ|>2|a₁x^n-1+a₂x^n-2+..+a_n| откуда |a₁x^n-1+a₂x^n-2+..+a_n|<|a₀xⁿ|/2 тогда из (3) при |x|>N=max(N₁,N₂) |f(x)|>M что и тебовалось доказать. Лемма №3(Лемма Даламбера). Если при x=x₀ многочлен f(x) степени n, не обращаеться в нуль, то существует такое приращение h, в общем случаекомплексное, что |f(x₀+h)|<|f(x)| Доказательство. По условию f(x₀) не равно нулю, случайно может быть так, что x₀ является корнем f’(x),..,f^(k-1) (x). Пусть k-я производная будетпервой, не имеющей x₀ своим корнем. Такое k существует т.к.f⁽ⁿ⁾(x₀)=n!a₀Таким образом Т.к f(x₀) не равно нулю то поделим обе части уравнения на f(x₀)и обозначим Теперь будем выбирать h. Причем будем отдельно выбирать его модуль и егоаргумент.По лемме№1: С другой стороны при (4)Пусть |h|<min(б₁, б₂), тогда Теперь выберем аргумент h так, чтобы c_kh^k былодействительным отрицательным числом. При таком выборе c_kh^k=-| c_kh^k| следовательно учитывая (4) получим Что доказывает лемму Даламбера. Лемма №5. Если действительная функция комплексного переменного f(x) непрерывна взамкнутом круге Е, то она ограничена. Доказательство.