Модуль и аргумент комплексного числа, их свойства. Тригонометрическая форма записи числа. Формула муравла.

Аргументом комплексного числа z называется угол φ в радианах радиус-вектора точки, соответствующей данному комплексному числу и обозначается Arg(z) = φ;

Из определения следуют следующие формулы:

Для числа z = 0 аргумент не определен.

Главным значением аргумента называется такое значение φ, что . Обозначается: arg(z).

Свойства аргумента:

1.		- аргумент от произведения двух комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел
2.		- аргумент частного двух комплексных чисел равен разности аргументов этих чисел
3.
4.		- аргумент от сопряженного к комлексного числа равен отрицательному значению аргумента от этого числа.

Модулем комплексного числа z = x + iy называется вещественное число |z| равное:

Для любых комплексных числе z, z₁, z₂ имеют место следубщие свойства модуля:

1.	, причем |z| = 0 тогда и только тогда, когда z = 0
2.	- неравенство треугольника для комплексных чисел
3.
4.
5.	для пары комплексных чисел z1 и z2 модуль их разности |z1 − z2| равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости

ригонометрическая форма записи комплексного числа:

Показательная форма записи комплексного числа:

где r - модуль, а φ; - аргумент комплексного числа.

Для тригонометрической формы записи верны следующие свойства:

1.
2.
3.

Для показательной формы записи справедливы следующие свойства:

1.
2.
3.
4.
5.

Формула Муавра:

 

5. Извлечение корня n-степени из комплексного числа?

Корнем n -й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, n -я степень которого равна подкоренному числу.
Таким образом, равенство:

равносильно равенству

 

r ⁿ (cos n y + i sin n y) = r (cos j + i sin j)

Но у равных комплексных чисел модули должны быть равны, и аргументы могут отличаться лишь кратным 2p, т.е.

 

r ⁿ = r, n y = j + 2 k p,

откуда

 

где есть арифметическое значение корня и k - любое целое число. Таким образом мы получаем:

(16)

т.е. для извлечения корня из комплексного числа надо извлечь корень из его модуля, а аргумент разделить на показатель корня.
В формуле (16) число k может принимать всевозможные целые значения; однако можно показать, что различных значений корня будет только n, и они будут соответствовать значениям:

k = 0, 1, 2,..., (n -1)

(17)

Чтобы доказать это, заметим, что правые части в формуле (16) будут различными при двух различных значениях k = k ₁ и k = k ₂ тогда, когда аргументы и отличаются не кратным 2p, и будут одинаковыми, если указанные аргументы отличаются кратным 2p.
Но разность (k ₁ - k ₂) двух чисел из ряда (17) по абсолютному значению меньше n, а потому разность

 

не может быть кратна 2p, т.е. n значениям k из ряда (17) соответствуют n различных значений корня.
Пусть теперь k ₂ - целое число (положительное или отрицательное), не заключающееся в ряде (17). Мы можем представить его в виде:

 

k ₂ = qn + k ₁

где q - целое число и k ₁ - любое число из ряда (17), а потому

 

,

т.е. значению k ₂ соответствует то же значение корня, что и значению k ₁, заключающемуся в ряде (17). Итак, корень n-й степени из комплексного числа имеет n различных значений.
Исключение из этого правила представляет лишь частный случай, когда подкоренное число равно нулю, т.е. r = 0. В этом случае все указанные выше значения корня равны нулю.

 

6.Многочлены. Деление многочленов с остатком?

Многочлен или полином (от греч. «поли» - много и лат. «номен» - имя) – класс элементарных функций классической алгебры и алгебраической геометрии. Это функция одной переменной, которая имеет вид F(x) = c_0 + c_1*x + … + c_n*x^n, где c_i – фиксированные коэффициенты, x – переменная.

Многочлены применяются во многих разделах, в том числе рассмотрении нуля, отрицательных и комплексных чисел, теории групп, колец, узлов, множеств и т.д. Использование полиномиальных вычислений значительно упрощает выражение свойств разных объектов.

Основные определения многочлена:
• Каждое слагаемое полинома называется одночленом или мономом.
• Многочлен, состоящий из двух одночленов, называют двучленом или биномом.
• Коэффициенты полинома – вещественные или комплексные числа.
• Если старший коэффициент равен 1, то многочлен называют унитарным (приведенным).
• Степени переменной в каждом одночлене – целые неотрицательные числа, максимальная степень определяет степень многочлена, а его полной степенью называется целое число, равное сумме всех степеней.
• Одночлен, соответствующий нулевой степени, называется свободным членом.
• Многочлен, все одночлены которого имеют одинаковую полную степень, называется однородным.

Определение. Пусть и — многочлены, . Будем говорить, что поделен на с остатком, если представлен в виде , где и — многочлены, причем .

Полином называется остатком от деления на , — неполным частным.

Пример. .

.

Теорема. (о делении с остатком). Пусть и — полиномы над полем , . Тогда существуют единственные многочлены и над полем такие, что и .

Доказательство. Существование.

Пусть . Положим .

.

Предположим, что теорема верна не для любого полинома ( фиксируем). Среди всех многочленов , для которых теорема неверна, выберем многочлен наименьшей степени и обозначим его :

Пусть . Положим

Коэффициент при в многочлене равен . Следовательно, . Значит, для многочлена теорема верна. Существуют такие и , что . Тогда

Получили противоречие с тем предположением, что есть многочлены, для которых теорема неверна.

Единственность. Предположим, что

1) . Значит, ,

2) .

Получили противоречие. Этот случай невозможен.