РАБОЧАЯ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

1. Выделение функционального компонента – нахождение уравнения линии регрессии .

2. Оценка доли функционального компонента в стохастической зависимости: коэффициент корреляции r, если , - прямые; корреляционные отношения , в общем случае.

1,2,3,4,5,6

4,6,5,1,3,2

2,1,6,5,4,3

и другие.

-----------------------

По определению, инверсию образуют два числа в перестановке когда меньшее из них расположено правее большего. Каждой перестановке можно сопоставить число инверсий в ней, которое подсчитывается следующим образом: для каждого из чисел определяют количество стоящих правее его меньших чисел, и полученные результаты складываются.

 

Например, определим число инверсий в следующей перестановке: (5,3,1,4,2,6).

 

Решим задачу за пять шагов, на первом шаге выделим первый (слева направо) элемент и подсчитаем число элементов стоящих правее от него меньших чем он сам. (меньшие элементы будем зачеркивать). Затем аналогичным образом обработаем второй элемент и т.д.

 

Gt; 4

Gt; 2

Gt; 0

Gt; 1

Gt; 0

 

Итого, число инверсий в заданной перестановке составляет: 4 + 2 + 0 + 1 + 0 = 7

 

Перестановка называется четной, если число инверсий в ней четно, и нечетной - в противном случае. В частности, рассмотренная выше перестановка нечетная, так как количество инверсий в ней равно семь.

-------------------------------------------------------------------------------

Транспозиции

Транспозиция – элементарное преобразование строк/столбцов матрицы, заключающееся в перемене мест двух строк/столбцов матрицы, при этом позиции остальных элементов не меняется.

 

Отсюда вытекает одно из свойств определителя:

- Определитель меняет знак при любой транспозиции его столбцов/строк.

Это происходит из-за того, что транспозиция меняет чётность перестановки на противоположную.

-------------------------------------------------------------------------------

 

 

Свойства определителей:

-определитель транспонированной матрицы;

-перемена строк местами в определителе;

-определитель матрицы с одинаковыми строками

1). Транспонирование - замена строк на столбы в матрице.

Примеры:

и

 

Из свойств транспонированной матрицы следует, что определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы:

(и пример на основе матриц выше)

-----------------------

2). При перестановке мест строк/столбцов матрицы определитель меняет свой знак на противоположный, при этом абсолютное значение не меняется. (и пример на основе матриц выше)

ч

3). Определитель матрицы с 2-я одинаковыми строками = 0

Пусть A - квадратная матрица, имеющая две одинаковые строки/столбца.

И пусть B - матрица полученная в результате перестановки указанных одинаковых строк/столбцов матрицы A.

 

С одной стороны det A = det B, но в силу свойства №2 следует, что det A = - det A, откуда следует что det A = 0.

-------------------------------------------------------------------------------

Свойства определителей:

-разложение определителя по строке

Разложение определителя по строке - сумма произведений элементов какой–либо его строки на их алгебраические дополнения(минор умноженный на ).

 

Ликбез:

i - номер строки

j - номер столбца.

Пример а12: i=1, j=2

 

Пример разложения по первой строке матрицы вида:

 

∆= + +

или

∆=а11 - а12 + а13

-------------------------------------------------------------------------------

Свойства определителей:

-произведение элементов одной строки на алгебраические дополнения другой строки;

-умножение строки на число;

-две пропорциональные строки;

-разложение определителя на сумму двух;

-прибавление к элементам одной строки элементов другой строки, умноженных на одно и то же число.

1).

-----------------------

2). При умножении элементов к-строки на одно и то же число, определитель умножается на это же число. (это число можно вынести за скобки матрицы и при нахождении определителя оно будет умножаться на определитель).(можно пример)

-----------------------

3). Если в матрице существуют 2 пропорциональные строки, то ее определитель равен 0 (коэффициент пропорциональности можно вынести за знак определителя, тогда матрица полученного определителя будет содержать две равные строки, откуда следует из свойства определителя матрицы с 2-мя одинаковыми строками, что det=0)

-----------------------

4).

-----------------------

5).

-------------------------------------------------------------------------------

 

 

Определитель Вандермонда

Определитель Вандермонда равен нулю тогда и только тогда, когда существует хотя бы одна пара такая, что .

-------------------------------------------------------------------------------

 

Определитель ступенчатой матрицы

-------------------------------------------------------------------------------

Теорема Лапласа

Пусть выбраны любые k строк матрицы A. Тогда определитель матрицы A равен сумме всевозможных произведений миноров k-го порядка, расположенных в этих строках, на их алгебраические дополнения.

где суммирование ведётся по всевозможным номерам столбцов

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА, МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ДИСЦИПЛИНЕ