Решение неоднородных уравнений Максвелла, вектор Герца.

При решении уравнений Максвелла в общем случае находят значения полей и в зависимости от х, у, z в декартовой системе координат или от r, j, z в цилиндрической системе, при этом в электродинамике значение этих полей зависит от времени t. Эта зависимость может быть учтена предположением, что поля изменяются только по гармоническому закону и используя показательную функцию , где , а w - угловая частота, t - текущее время, можно производить все математические преобразования полей и в зависимости от координат, а результат получать как и

Точка над означает, что эти поля изменяются по гармоническому закону.

Однако зависимость полей от трех координат требует решения системы уравнений, что является весьма трудоёмким делом.

На практике в ряде задач невозможно пренебречь значением плотности сторонних токов, что еще более усложняет задачу решения уравнений Максвелла для каждого конкретного случая, в частности задачи возбуждения волноводов, штырей, петель и т.д. Для задач такого рода можно пренебречь плотностью электрического заряда r=0.

Система уравнений Максвелла при этом приобретает вид

(1)

Относительное значение диэлектрической постоянной предполагаем величиной комплексной в общем случае найти все 6 проекций векторов и , поэтому вводят вспомогательные функции, которые называются потенциалами электромагнитного поля. [2] Например, четвертому уравнению удовлетворяет векторное поле

(т.к. ) (2)

- векторная функция пространственных координат называют электрическим векторным потенциалом.

Напряженность магнитного поля будет равна:

(3)

Функция - неопределена, единственное условие налагаемое на функцию - это ее дифференцируемость. Равенства сохраняет силу, если к полю добавить еще одну функцию радиуса .

- произвольная гладкая функция радиуса-вектора,

поскольку из векторного анализа следует, что

Свяжем электрический векторный потенциал с напряженностью электрического поля. Подставим (3) во второе уравнение нашей системы (1)

или

(4)

Поскольку ,то (5)

- скалярный электрический потенциал (знак «-» поскольку должно быть

справедливо равенство )

При этом сохраняется направление стрелок на силовых линиях электрического поля от + → -

Таким образом, мы нашли способ выразить напряженность электрического и магнитных полей через векторный А_Э и скалярный электрические потенциалы j

(5)

Задача значительно упрощается, поскольку вместо двух векторов функций надо найти две функции — одну векторную и одну скалярную.

Возможно использование всего одной векторной функции , которая носит название вектор Герца[1].

Предположим, что

(6)

(7)

Если наложить на функцию и ограничение , которое носит название калибровка Лоренца, то можно убедиться, что условие калибровки Лоренца выполняется и для функции .

Следовательно для решения, например, неоднородного уравнения Гельмгольца

(8)

где

в общем случае, когда сторонними токам нельзя пренебречь.

При этом следует заметить, что для частного случая, когда r =0 в третьем уравнении системы (1) неоднородное уравнение Гельмгольца справедливо и для вектора-потенциала в виде

(9)

Переход от вектора Герца в уравнении (8) к полям и осуществляется посредством формул

(10)

 

А для уравнения (9) переход к полям посредством соотношений (5).