Основные положения теории пограничного слоя

 

Поскольку основным предметом нашего рассмотрения должно явиться взаимодействие свободно или вынужденного движущегося потока жидкости или газа с поверхностью твердого тела необходимо вспомнить основные положения теории пограничного слоя [7].

Теплоотдача твердому телу зависит от распределения температуры в потоке жидкости или газа. Температурное поле в свою очередь зависит от гидродинамической обстановки в потоке жидкости, которая сложилась к заданному моменту времени. Следовательно, для решения тепловой задачи вначале необходимо найти распределения скоростей, т. е. решить гидродинамическую задачу. Если считать жидкость несжимаемой, (r = const), а теплоемкость постоянной (с = const), то в математическую формулировку гидродинамической задачи войдет уравнение неразрывности:

, (5.1)

система уравнений движения Навье-Стокса

, (5.2)

где – полная или субстанциональная производная (оценивает действительное ускорение, которое испытывает частица, проходя вдоль линии тока в поле скорости);

X, Y, Z – проекции на оси координат внешних сил, действующих на элемент объема жидкости;

Р – давление внутри жидкости;

m – коэффициент динамической вязкости;

v – скорость элемента объема жидкости.

и уравнения, описывающие граничные условия 1, 2, 3 или 4-го рода.

Главная трудность возникает при решении уравнений Навье-Стокса, которые представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Кроме того, три уравнениясодержат четыре неизвестных – v_х, v_у, v_z,P. Только при больших упрощениях, эти уравнения удалось решить. Например, при натекании жидкости из бесконечности на бесконечную стенку.

Известны приближенные решения уравнений Навье-Стокса для так называемого ползущего движения, первого предельного случая, очень малой скорости. Но наибольший интерес представляет второй предельный случай

– очень малой вязкости жидкости при большой скорости. Метод упрощения дифференциальных уравнений Навье-Стокса для второго предельного случая был разработан Прандтлем. В 1904 г он представил по этому поводу доклад Международному конгрессу математиков в Гейдельберге.

Сущность метода поясним на примере стационарного плоскопараллельного потока жидкости, омывающего пластину. Поток жидкости, омывающий тело, мысленно разбивают на две области: пограничный слой 1 и внешний поток 2.

Гидродинамическим (динамическим) пограничным слоем называют область течения вязкой теплопроводной жидкости, характеризующейся малой толщиной d(х) по сравнению с продольными размерами области (например, длиной пластины ℓ, d(х) << ℓ;) и большим поперечным градиентом, скорости .Скорость жидкости v_x у стенки равна нулю (эффект прилипания). Переход v_x к V_¥ осуществляется асимптотически. Однако практически величина v_x достигает значения v, близкого к V_¥ (v₁ = 0,99 V_¥) в очень тонком слое, толщина которого обычно принимается за толщину пограничного слоя d(х).

То есть, для гидродинамического пограничного слоя удается значительно упростить уравнения Навье-Стокса. Полученные после упрощения уравнения называют уравнениями динамического пограничного слоя. Для внешнего потока уравнения Навье-Стокса так же упрощаются (последнее слагаемое с m пропадает, т. к. силами внутреннего трения в жидкости пренебрегают).

Итак, исследуемый поток разбивается на две части и задача математического описания течения жидкости при этом упрощается.

Наряду с динамическим пограничным слоем существует также и тепловой пограничный слой. Он характеризуется большим поперечным градиентом температуры, под действием которого осуществляется поперечный перенос теплоты. Распределение температур внутри движущейся несжимаемой жидкости в случае нестационарного трехмерного температурного поля описывается дифференциальным уравнением

. (5.3)

Для теплового пограничного слоя удается упростить это уравнение. Полученное после упрощения уравнение называют уравнением энергии теплового пограничного слоя. Можно получить точное аналитическое решение (распределение температуры в пограничном слое) этого уравнения, если из гидродинамической задачи определено распределение скорости пограничного слоя. Точные решения уравнений динамического и теплового пограничного слоев трудоемки, а в ряде случаев и не возможны, потому в инженерных расчетах часто пользуются приближенными методами решения указанных уравнений (метод теории подобия – см. п. 3.5.4 – 3.5.8).

Таким образом, сущность теории пограничного слоя состоит в упрощении уравнений, описывающих процесс теплообмена между твердым телом и омывающей его жидкостью на основании применения их к малой пространственной области – пограничному слою и отыскания методов решения полученных после упрощения уравнений.

Для решения задачи теплоотдачи от жидкости или газа к твердому телу рассмотренные уравнения осталось дополнить граничными условиями. Чаще всего используют граничные условия третьего рода (см. п 3.3.4):

, (5.4)

где l₀ – коэффициент теплопроводности среды;

у – ось системы координат с началом на поверхности теплообмена,

направленная внутрь жидкости и твердого тела;

t_S, t₀ – собственно температура поверхности и среды;

a – коэффициент теплоотдачи.