Быстродвижущиеся источники

Рис. 4.4. Одномерный быстродвижущийся источник теплоты J₁

 

Методику получения формул для быстродвижущихся источников теплоты покажем на примере тепловой задачи . Пусть одномерный источник J₁ с равномерно распределенной плотностью тепловыделения q₁ движется с высокой скоростью v в направлении, показанном стрелкой на рисунке. Система координат XYZ движется вместе с источником. Выделим из неограниченного тела элемент в виде стержня шириной b и толщиной dx. Вследствие высокой скорости движения время «проскакивания» источника через этот элемент столь мало, что на участке b∙dx температуру можно считать одинаковой во всех точках, а сам источник в этом элементе полагать двумерным мгновенным.

Для такой задачи мы уже получили уравнение (4.12) при осуществлении первого интегрального перехода. Чтобы применить эту формулу к данному случаю, отметим, что y_u = 0, а время, прошедшее с того момента, когда источник «проскочил» элемент dx, до момента наблюдения . Что касается тепловыделения Q₂ двумерного источника, то оно связанно с плотностью q₁ тепловыделения одномерного источника уравнением теплового баланса для площадки b∙dx, а именно b∙q₁dt = bQ₂dx откуда . Подставляя эти преобразования в формулу (4.12), получим для быстродвижущегося одномерного источника:

. (4.31)

Возвратимся к полосовому источнику J₂ и предположим, что он быстродвижущийся. Тогда для этого источника:

. (4.32)

Верхний предел интегрирования р зависит от абсциссы х точки, для которой рассчитывается температура. Если x ³ l, то р = l, т. к. на температуру точки М влияют все одномерные источники, образующие плоский. Если же x < l, то р = х, т. к. теплота, выделяемая быстродвижущимся источником, впереди источника не распространяется.

Используя безразмерные координаты ψ, ψ_u, ν, получим

. (4.33)

или:

, (4.34)

где:

. (4.35)

Верхний предел интеграла D = y при 0 £ y £ 1 и D = 1 при y > 1. Для точек, лежащих в плоскости движения источника (n = 0), выполняя интегрирование, получаем:

при 0 ≤ ψ ≤ 1, ; (4.36)

при ψ > 1, . (4.37)

Относительная температура Т₁ (y, n) при y = 1 и n = 0 имеет наибольшее значение Т_1max = 1.

До сих пор мы рассматривали источники, тепловыделение которых равномерно распределено по пятну нагрева. Если теплота распределена на пятне нагрева по какому-либо другому закону, то методика интегральных переходов остается прежней, но под соответствующие интегралы дополнительно вводится функция, описывающая закон распределения плотности тепловых потоков. Например, если тепловыделение быстродвижущегося полосового источника описывается формулой q₂(y) = q₀ f(y_u), то вместо выражения (4.35) получаем:

. (4.38)

Соответственно видоизменяется и функция Т₁(y, n), значения которой приходится определять методами приближенного интегрирования.