Гипотеза Кирхгоффа и ее следствия

Ограничимся рассмотрением нагружения пластины нормальными поверхностными нагрузками , приложенными соответственно к границам .

Теория тонких пластин строится на основе гипотезы Кирхгоффа, сущность которой заключается в следующем:

в процессе деформирования пластина в плоскостях, нормальных к ее срединной плоскости, ведет себя в отношении сдвигов и удлинений вдоль оси z как абсолютно твердое тело.

Назовем отрезки, ортогональные срединной плоскости пластины и заключенные между граничными плоскостями нормальными элементами или просто нормалями пластины (см., например, отрезок АВ на рис. 1.1). Более традиционная формулировка гипотезы Кирхгоффа гласит:

нормали пластины не деформируются и остаются нормалями к ее срединной поверхности (деформированной срединной плоскости).

В соответствии с этим гипотезу Кирхгоффа часто называют гипотезой о неизменяемости нормалей пластины.

Следует подчеркнуть, что поводом для введения гипотезы Кирхгоффа послужили наличие у пластины малого геометрического параметра (толщины ) и основанные на эмпирических фактах интуитивные представления о малой деформируемости тонкой пластины по ее толщине.

Обозначим через — декартовые компоненты вектора смещений, являющиеся, вообще говоря, функциями трех координат . Если теперь вспомнить соотношения Коши и смысл определяемых ими компонент деформаций, то недеформируемость пластины в нормальных ее плоскостях означает, что

(1.1)

Первое соотношение исключает удлинения нормалей, а два других — сдвиги во всех нормальных плоскостях пластины.

Из первого уравнения (1.1) следует, что смещение не зависит от координаты :

(1.2)

Вследствие этого точки пластины, принадлежащие одной и той же нормали, смещаются по оси на одну и ту же величину, получившую название прогиба пластины. Условимся в дальнейшем частные производные прогиба по пространственным координатам обозначать соответствующими индексами снизу. Например,

Учитывая (1.2), из двух последних дифференциальных уравнений (1.1) имеем

(1.3)

В этих формулах величины

представляют смещения точек срединной плоскости пластины вдоль осей и соответственно. Они имеют место при деформировании пластины в ее плоскости, описываемом плоским напряженным состоянием. В теории изгиба пластин их можно положить равными нулю, что соответствует нерастяжимости срединной плоскости пластины при ее изгибе. Другими словами, задача об общем пространственном деформировании пластины слагается из задачи о ее плоском напряженном состоянии и изучаемой нами задачи изгиба пластины. Важно подчеркнуть, что названные две задачи независимые. Здесь уместно провести аналогию с теорией стержня, согласно которой задача об общем плоском деформировании прямолинейного стержня разбивается на две независимые задачи. Одна из них — задача о растяжении-сжатии стержня, а другая — задача о его поперечном изгибе. Проведенная аналогия наглядно иллюстрируется на рис. 1.2, где на рис. 1.2 а представлено отмеченное разделение для стержня, а на рис. 1.2 б — для пластины.

Таким образом, в теории изгиба пластины можно считать

(1.4)

Заметим еще, что если исходить из традиционной формулировки гипотезы Кирхгоффа, то необходимо потребовать выполнение первого условия (1.1), условий

(1.5)

и, кроме того, принять, что

(1.6)

Действительно, как уже отмечалось, согласно первому условию (1.1) нормали не деформируются по своей длине, в соответствии с (1.5) остаются нормальными к срединной поверхности пластины и, наконец, как предписывают формулы (1.6), сохраняют свою прямолинейную форму. Раскрывая условия (1.5) с помощью представлений (1.2), (1.6), находим .

Тем самым показана полная эквивалентность обеих формулировок гипотезы Кирхгоффа.

Из (1.4) следует, что отличные от нуля компоненты пространственного тензора деформаций равны

(1.7)

Их испытывают все плоскости, нормальные оси , исключая срединную. Характерно, что величина этих деформаций пропорциональна удаленности от срединной поверхности. Заметим также, что при деформировании пластины, все ее плоскости, нормальные оси остаются эквидистантными.

Итак, гипотеза Кирхгоффа позволила установить закон изменения смещений и деформаций по толщине пластины. Тем самым трехмерная геометрия деформирования пластины сведена к двухмерной, полностью описываемой единственной функцией двух переменных — прогибом пластины .

Принимая гипотезу Кирхгоффа, мы до сих пор ничего не сказали о том, чем эта гипотеза может быть обеспечена в полной и строгой модели трехмерной теории упругости при действии на пластину, вообще говоря, любых внешних нагрузок. Навязывая пластине условиями (1.1) недеформируемость в нормальных плоскостях, мы, по существу, наделяем ее материал специальными свойствами и тем самым вторгаемся в физическую сторону теории упругости. Эти рассуждения наводят на мысль — искать строгое модельное обоснование гипотезы Кирхгоффа именно в физической стороне.

Ясно, что в рамках изотропного упругого тела такое обоснование недоступно, так как выражающие гипотезу Кирхгоффа математические зависимости (1.1) навязывают телу анизотропность и, как легко понять, в рамках частного вида анизотропии, известного под названием трансверсальной изотропии. Напомним физические соотношения трансверсально-изотропного тела, предполагая, что плоскость его изотропных упругих свойств перпендикулярна оси ,

Здесь , , — упругие константы в плоскости изотропии, — модуль Юнга в направлении оси , — модуль сдвига в нормальной плоскости пластины, — коэффициент поперечного сжатия в плоскости изотропии при растяжении вдоль оси .

Из последних соотношений видно, что независимо от характера внешнего нагружения для выполнения гипотезы Кирхгоффа (равенств (1.1)) необходимо и достаточно устремить к бесконечности модули и . При этом нетривиальные физические зависимости принимают вид

(1.8)

С точки зрения физической стороны напряжения , и становятся неопределенными, и единственная возможность для раскрытия этой неопределенности предоставляется в статической стороне.

Трансверсально-изотропный материал с неограниченными модулями и можно назвать трансверсально деформируемым. Аналитические выражения (1.1) ему присущи органически, так что можно утверждать, что гипотеза Кирхгоффа — следствие физической гипотезы о трансверсальной деформируемости материала пластины. Эта гипотеза равносильна дополняющим друг друга предположениям о трансверсальной изотропии материала и его недеформируемости в поперечном направлении.

Записывая уравнения (1.8) в обратной форме

с помощью (1.7) находим

(1.9)

С целью определения напряжений , , обратимся к пространственным уравнениям равновесия ()

(1.10)

и статическим граничным условиям на плоских границах . На них , , , , так что

(1.11)

Рассмотрим первое уравнение (1.10). Согласно (1.9)

где, как обычно, символом обозначен дифференциальный оператор Лапласа:

Интегрируя предпоследнее равенство по в пределах от до , с учетом первого условия (1.11) для получим

(1.12)

где

— статический момент отсеченной части прямоугольного сечения высотой и шириной 1 относительно его горизонтальной оси симмктрии (см. рис. 1.3; отсеченная часть заштрихована).

Совершенно аналогично из (1.9) и второго уравнения (1.10) сначала находим равенство

а затем формулу

(1.13)

Нетрудно видеть, что формулы (1.12), (1.13) не противоречат двум первым условиям (1.11) для .

Наконец, из третьего уравнения равновесия (1.10) и формул (1.12), (1.13) имеем

 

Здесь введен бигармонический оператор

Интегрируя предпоследнее равенство в тех же пределах (от до ), с учетом третьего условия (1.11) для находим

(1.14)

где

Требуя теперь выполнения третьего условия (1.11) и при , приходим к уравнению

(1.15)

носящему имя Софи Жермен. В этом уравнении введены результирующая поверхностная нагрузка

и так называемая цилиндрическая жесткость пластины

(1.16)

Уравнение Софи Жермен играет в теории изгиба пластин центральную роль. Оно предназначено для отыскания прогиба пластины , через который выражены все смещения (см. (1.4)), деформации (см. (1.7)) и напряжения (см. (1.9), (1.12), (1.13), (1.14)). Заметим, что с учетом уравнения Софи Жермен формула (1.14) приобретает вид

где момент инерции сечения, показанного на рис 1.3, относительно его горизонтальной оси симметрии. Последняя формула показывает, что напряжение определяется только поверхностными нагрузками.

Подводя итоги, отметим, что упругие смещения , упругие деформации и напряжения пластины изменяются по ее толщине по линейному закону (см. (1.4), (1.7), (1.9)), не упругие поперечные касательные напряжения — по закону квадратной параболы (см. (1.12), (1.13)), а нормальные напряжения — по закону кубической параболы (см. (1.14)).