Метод Ритца-Тимошенко.

Пример 1. Проиллюстрируем применение метода Ритца-Тимошенко на примере той же шарнирно опертой по всему контуру прямоугольной пластины.

Следуя процедуре этого метода, зададим искомую функцию приближенно в виде частичной суммы ряда

(5.24)

где — искомые числовые параметры, а аппроксимирующие функции , выбранные в форме

(5.25)

обеспечивают выполнение геометрических граничных условий

(5.26)

Система функций () — линейно независимая, полная и ортогональная в области . В силу (5.26) для полной энергии изгиба пластины справедливо упрощенное выражение (4.6):

(5.27)

Дальнейшая схема реализации метода Ритца-Тимошенко

требует подстановки (5.24) в (5.27), интегрирования по области , после чего она завершается требованием выполнения необходимого условия экстремума (минимума) функции :

(5.28)

Отсюда и находятся искомые величины . Заметим, однако, что

Это позволяет избежать стандартное возведение в квадрат ряда типа (5.24) и, тем самым, сократить объем выкладок. Имея в виду, что

с учетом условий ортогональности (см. (5.7), (5.25))

(5.29)

из уравнений (5.28) находим

Здесь

(5.30)

Итак, искомое приближенное решение имеет вид

(5.31)

и, как и следовало ожидать, в пределе при переходит в точное решение (5.9).

Пример 2. Проиллюстрируем метод на примере пластины, свободной от нагрузки по всему контуру поперечного сечения.

Функционал полной энергии такой пластины представим в форме (4.5)

, (4.5)

где искомая функция прогиба ищется в виде ряда

(5.32)

Здесь система функций выбрана так, чтобы смещения были возможными, то есть линейно независимыми, непрерывными, полными и удовлетворяющими на контуре пластины всем геометрическим граничным условиям. При этом функции могут удовлетворять и статическим граничным условиям, но это не обязательно.

Если это возможно, то функция двух переменных задается в виде комбинации функций одной переменной, так

При выбранных функциях , подставив (5.32) в (4.5) и произведя интегрирование, мы получим функцию, зависящую только от констант . Условие ее минимума

(5.33)

Система (5.33) всегда относительно констант линейна

,

где при всех четырех опертых кромках

Здесь

где символом (k) обозначены функция, ее первая и вторая производные k=0,1,2.