Метод Бубнова-Галеркина.

При иллюстрации и этого метода мы вновь ограничимся рассмотренным выше случаем шарнирно опертой по всему контуру прямоугольной пластины, т.е. вернемся к Примеру 1. По-прежнему зададим искомую функцию приближенно в виде (5.24), (5.25), обеспечивающем выполнение всех краевых условий задачи (5.2), (5.3).

Для нахождения искомых числовых параметров в методе Бубнова-Галеркина служит система

Подставляя сюда выражение (5.24), приходим к равенству

из которого с учетом условия ортогональности (5.29) и формулы (5.31) находим

Как и следовало ожидать, мы получили тот же результат, что и в методе Ритца-Тимошенко (см. (5.31)).

 

Перейдем к Примеру 2.

Решение задачи, как и в предыдущем случае, ищется в форме ряда (5.32) с теми же требованиями к аппроксимирующим функциям. Различие состоит в следующем.

По методу Ритца функционал полной энергии минимизируется впрямую, то есть ищется такая комбинация констант, которая обеспечивает этому функционалу минимум на ограниченном множестве функций .

По методу Бубнова-Галеркина условие минимума этого функционала записывается по правилам вариационного исчисления

(5.33)

где под контурными интегралами стоит разность между внутренними силовыми факторами на контуре пластины

и соответствующими им внешними факторами, , если таковые приложены по контуру пластины.

Точное решение задачи дает экстремаль, удовлетворяющая уравнению Эйлера и естественным граничным условиям на контуре пластины

Если выбором функций выполнены не только кинематические, но ВСЕ граничные условия задачи, то граничные члены в (5.33) обнуляются, и мы имеем только условие

В силу произвольности и независимости вариаций при константах равенство нулю возможно только при обнулении констант при каждом члене ряда.

(5.34)

Выражение (5.34), расписанное с помощью (5.32)

(5.35)

где

(i=1,2,…,n j=1,2,…,n) (5.36)

Отметим два факта.

При выборе одних и тех же функций коэффициенты системы (5.35), несмотря на разницу в форме представления, по существу всегда одинаковы.

Если функции выбраны так, что статические граничные условия выполнены, то контурные интегралы в (5.36) исчезают.

(i=1,2,…,n j=1,2,…,n)