Неоднозначность нахождения первообразной

Дифференцирование функции – однозначная операция, т.е. если функция имеет производную, то только одну. Это утверждение непосредственно следует из определений предела и производной: если функция имеет предел, то только один. Обратная операция – отыскание первой производной – не однозначна.

Так, функции , , , , где С – любое постоянное действительное число, являются первообразными функции , поскольку все эти функции имеют 4 x ³.

Теорема. Если является первообразной функции на некотором промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид , где С – любое действительное число.

Доказательство. Пусть . Тогда . Покажем теперь, что все первообразные функции отличаются лишь постоянным слагаемым.

Пусть – другая первообразная функции на рассматриваемом промежутке, т.е. . Тогда при всех x из рассматриваемого промежутка. Следовательно, , что и требовалось установить. Отсюда следует, что задача нахождения первообразной имеет бесконечное множество решений. Геометрически выражение представляет собой семейство кривых, получаемых из любой из них параллельным переносом вдоль оси 0Y.

Неопределённый интеграл и его свойства

Первообразную можно находить не только по данной её производной, но и по её дифференциалу.

Определение. Совокупность всех первообразных функции на рассматриваемом промежутке называется неопределённым интегралом и обозначается символом , где – подынтегральная функция, – подынтегральное выражение, x – переменная интегрирования.

Таким образом, если – какая-нибудь первообразная функция на некотором промежутке, то

,

где С – любое действительное число.

Наличие постоянной С делает задачу нахождения функции по её производной не вполне определённой; отсюда происходит и само название «неопределённый интеграл».

Пользуясь определением неопределённого интеграла, можно записать:

и т.д.

Поэтому, чтобы найти неопределённый интеграл от заданной функции, нужно найти какую-нибудь одну её первообразную и прибавить к ней произвольную постоянную С.

Чтобы проверить, правильно ли найден неопределённый интеграл, необходимо продифференцировать полученную функцию; если при этом получается подынтегральное выражение, то интеграл найден верно.

Например, . Сделаем проверку: или . Следовательно, интеграл найден верно.

Основные свойства неопределённого интеграла

1. Производная неопределённого интеграла равна подынтегральной функции, т.е.

.

2. Постоянный множитель подынтегрального выражения можно вынести за знак интеграла, т.е.

,

где m – постоянная величина, не равная нулю.

3. Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, т.е.

4. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

5. Неопределённый интеграл от дифференциала (производной) некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной С, т.е.

или .