Способ подстановки (замены переменной)
Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной). Все способы интегрирования имеют целью свести данный интеграл к табличному с помощью тех или иных искусственных приёмов. Способ подстановки заключается в следующем: часть подынтегральной функции заменяют новой переменной, при дифференцировании которой получается оставшаяся подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, на который всегда можно умножить и разделить подынтегральное выражение). Например, в интеграле
Произведя обратную замену
Решение этого примера можно кратко оформить так:
Рассмотренный выше пример можно решить иначе:
Если при интегрировании одной и той же функции разными способами получены различные результаты, то необходимо показать, что они отличаются на постоянную величину. Преобразуя первый результат, имеем:
Отсюда видно, что разность функций равна
|
удобно произвести замену 
, при этом оставшаяся часть подынтегрального выражения 
. Тогда перепишем данный интеграл в виде 
. Полученный интеграл является табличным; он находится по формуле 1:
.
.
.
.
.
, т.е. постоянному числу.
