Способ подстановки (замены переменной)

Если заданный интеграл с помощью алгебраических преобразований трудно или невозможно свести к одному или нескольким табличным интегралам, то для его отыскания применяют особые способы, одним из которых является способ подстановки (замены переменной). Все способы интегрирования имеют целью свести данный интеграл к табличному с помощью тех или иных искусственных приёмов.

Способ подстановки заключается в следующем: часть подынтегральной функции заменяют новой переменной, при дифференцировании которой получается оставшаяся подынтегрального выражения (не считая постоянного множителя, на который всегда можно умножить и разделить подынтегральное выражение).

Например, в интеграле удобно произвести замену , при этом оставшаяся часть подынтегрального выражения . Тогда перепишем данный интеграл в виде . Полученный интеграл является табличным; он находится по формуле 1:

.

Произведя обратную замену , получаем ответ:

.

Решение этого примера можно кратко оформить так:

.

Рассмотренный выше пример можно решить иначе:

.

Если при интегрировании одной и той же функции разными способами получены различные результаты, то необходимо показать, что они отличаются на постоянную величину. Преобразуя первый результат, имеем:

.

Отсюда видно, что разность функций равна , т.е. постоянному числу.