Способ интегрирования по частям

При интегрировании функций, содержащих произведения, логарифмы и обратные тригонометрические функции, бывает удобно воспользоваться способом интегрирования по частям. Выведем формулу интегрирования по частям: дифференциал от произведения равен ; в результате интегрирования имеем или . Откуда: .

Нахождение интеграла сводится к нахождению интеграла , который может оказаться или проще данного, или даже известным.

При практическом использовании формулы интегрирования по частям данное интегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей, которые обозначают u и dυ;. Множитель u стараются выбирать так, чтобы du было проще, чем u.

Рассмотрим частные примеры интегрирования по частям.

Пример 1. Вычислить .

РЕШЕНИЕ:

Интеграл содержит произведение двух функций x и . Способ подстановки не даёт возможности найти этот интеграл. Обозначим x=u, ; тогда dx = du; . Применим формулу интегрирования по частям:

.

Приняв x=u, получили и интеграл оказался проще, чем .

Если же в данном интеграле сделать другую замену: , , то можно убедиться, что полученный интеграл окажется сложнее исходного, т.е. замена окажется неудачной. Умение определить целесообразность той или иной замены приходит с приобретением навыка.

Пример 2. Вычислить .

РЕШЕНИЕ:

.

Пример 3. Вычислить . Иногда формулу интегрирования по частям приходится применить дважды.

РЕШЕНИЕ: Имеем:

.

Для нахождения полученного в правой части равенства интеграла снова интегрируем по частям (см. решение примера 1):

.

В результате получаем окончательный ответ:

.

Пример 4. Вычислить .

РЕШЕНИЕ:

.

Определённый интеграл

Определение. Если F(x)+C – первообразная функция для f(x), то приращение F(b) – F(a) первообразных функций при изменении аргумента x от x=a до x=b называется определённым интегралом и обозначается символом , т.е. , где a – нижний предел, b – верхний предел определённого интеграла.

Функция f(x) предполагается непрерывной в промежутке изменения аргумента x от a до b.

Для вычисления определённого интеграла находят:

1) неопределённый интеграл ;

2) значение интеграла F(x)+C при x=b, C=0, т.е. вычисляют F(b);

3) значение интеграла F(x)+C при x=a, C=0, т.е. вычисляют F(a);

4) разность F(b) – F(a).

Процесс вычисления виден из формулы

.

Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Под F(x) в формуле понимают простейшую из первообразных функций, у которой C=0.

Так как приращение F(b) – F(a) равно некоторому числу, то определённый интеграл есть число (в отличие от неопределённого интеграла, который есть совокупность функций).

Геометрический смысл определённого интеграла заключается, очевидно, в том, что есть площадь криволинейной трапеции, определяемой графиком функции f(x) на отрезке [ a, b ].

Основные свойства определённых интегралов

При рассмотрении будем предполагать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [ a, b ].

1. При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный:

.

2. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:

,

где k – постоянная величина.

3. Определённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций:

.