Вторая производная

Вторая производная – это производная от первой производной: .

Стандартные обозначения второй производной: , или (дробь читается так: «дэ два игрек по дэ икс квадрат»). Чаще всего вторую производную обозначают первыми двумя вариантами. Но третий вариант тоже встречается, причем, его очень любят включать в условия контрольных заданий, например: «Найдите функции…».

Пример.

Найдем вторую производную от функции .

Для того чтобы найти вторую производную, нужно сначала найти первую производную:

.

Теперь находим вторую производную:

.

Рассмотрим более содержательные примеры.

Пример.

Найти вторую производную функции .

Найдем первую производную:

.

На каждом шаге всегда смотрим, нельзя ли что-нибудь упростить? Сейчас нам предстоит дифференцировать произведение двух функций, и мы избавимся от этой неприятности, применив известную тригонометрическую формулу . Точнее говоря, использовать формулу будем в обратном направлении: :

.

Находим вторую производную:

.

Пример.

Найти производную второго порядка от функции .

Находим первую производную как производную сложной функции:

.

Вторую производную находим как от произведения, предварительно вынеся по правилам дифференцирования коэффициент 3 за знак производной. Также будем учитывать, что первый множитель - - есть сложной функцией:

.

Пример.

Найти производную функции .

Так как производная суммы равна сумме производных, то

.

Воспользуемся формулами для производных показательной и обратной тригонометрической функций:

.

Пример.

Найти дифференциал третьего порядка функции .

По формуле

.

Найдем третью производную заданной функции:

.

Тогда

.

Пример.

Найти производную неявно заданной функции

Продифференцируем обе части данного выражения по , учитывая, что функция от и производная от неё берется как от сложной функции.

Выразим из этого равенства

Пример.

Найти производную от функции заданной параметрически

Решение. Найдем производные и

Подставляя найденные значения и в формулу

получим

.

Пример.

Найти производную функции

Применим логарифмическое дифференцирование:

Тогда, продифференцировав левую и правую часть, будем иметь:

Отсюда получаем, что