Неявное и параметрические задания функций и их дифференцирование.

Глава 4.

Занятие 4

Неявное и параметрические задания функций и их дифференцирование.

Определение 4.1. Если функция задана формулой, то говорят, что функция задана явным образом.

Пусть . Значение такой функции легко вычислить. Нужно заданное значение аргумента подставить в формулу и сосчитать полученное выражение.

Например .

Определение 4.2. Если функция является решением некоторого уравнения, то говорят о неявном задании функции.

Вся сложность при неявном задании функции заключается в вычислении значения функции при заданном значении её аргумента.

Пример 4.1. Уравнение определяет функцию . В данном случае мы можем решить это уравнение относительно и получить явное задание .

Пример.4.2. Рассмотрим уравнение . Оно также задает функцию . Решим уравнение относительно

Таким образом, данное уравнение задаёт нам две различных явно заданных функции. Как конкретизировать функцию при её неявном задании. Очень просто нужна дополнительная информация.

Пример 4.3. Уравнение с дополнительным условием «все значения функции больше нуля» задает нам единственную функцию

Уравнение с дополнительным условием «все значения функции меньше нуля» задает нам единственную функцию

При неявном задании функции нужно заранее определить какая из двух переменных является аргументом, а какая функцией.

Например, если считать в уравнении переменную аргументом, а переменную функцией, то уравнение задаёт две функции

Если к уравнению добавить условие «при значение », то

получим только одно явное выражение для функции: .

Пример 4.4. Функция задана неявно уравнением и дополнительным условием: все значения функции положительные числа.

Решение. Решаем квадратное уравнение относительно

Так как , то ответом будет функция .

Чаще всего невозможно получить явное выражение для функции, которая задана неявно. Однако производную от функции заданной неявно получить несложно из самого уравнения. Такой алгоритм называется правилом неявного дифференцирования.