Факторный анализ. Идея метода состоит в сжатии матрицы признаков в матрицу с меньшим числом переменных, сохраняющую почти ту же самую информацию

Идея метода состоит в сжатии матрицы признаков в матрицу с меньшим числом переменных, сохраняющую почти ту же самую информацию, что и исходная матрица. В основе моделей факторного анализа лежит гипотеза, что наблюдаемые переменные являются косвенными проявлениями небольшого числа скрытых (латентных) факторов. Под моделью факторного анализа понимают представление исходных переменных в виде линейной комбинации факторов.

Х₁ Х₂..... Х_n F₁ ... F_m

┌──┬──┬──┬──┬──┐ ┌──┬──┬──┐;

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │;

└──┴──┴──┴──┴──┘ └──┴──┴──┘;

Рис. 7.1. Сжатие признакового пространства

с применением факторного анализа

Факторы F построены так, чтобы наилучшим способом (с минимальной погрешностью) представить Х. В этой модели «скрытые» переменные F_k называются общими факторами, а переменные U_i – специфическими факторами («специфический» – это лишь одно из значений используемого в англоязычной литературе слова unique, в отечественной литературе в качестве определения U_i встречаются также слова «характерный», «уникальный»). Значения a_ik называются факторными нагрузками.

Обычно (хотя и не всегда) предполагается, что X_i стандартизованы (s _i =1, X_i =0), а факторы F ₁, F ₂, …, F_m независимы и не связаны со специфическими факторами U_i (существуют модели, выполненные в других предположениях). Предполагается также, что факторы F_i стандартизованы.

В этих условиях факторные нагрузки a_ik совпадают с коэффициентами корреляции между общими факторами и переменными X_i. Дисперсия X_i раскладывается на сумму квадратов факторных нагрузок и дисперсию специфического фактора:

, где .

Величина называется общностью, – специфичностью. Другими словами, общность представляет собой часть дисперсии переменных, объясненную факторами, специфичность – часть не объясненной факторами дисперсии.

В соответствии с постановкой задачи необходимо искать такие факторы, при которых суммарная общность максимальна, а специфичность – минимальна.