Пример построения модели

Обычно демонстрацию модели начинают с простейшего примера, и такие примеры Вы можете найти в [7]. Мы пойдем немного дальше и покажем, как получить полиномиальную регрессию.

Курильский опрос касался населения трудоспособного возраста. Как показали расчеты, в среднем меньшие доходы имеют молодые люди и люди старшего возраста. Поэтому прогнозировать доход лучше квадратичной кривой, а не простой линейной зависимостью. В рамках линейной модели это можно сделать, введя переменную квадрат возраста. Приведенное ниже задание SPSS предназначено для прогноза логарифма промедианного дохода (ранее сформированного).

COMPUTE v9_2 = v9**2.

*квадрат возраста.

REGRESSION /DEPENDENT lnv14m /METHOD = ENTER v9 v9_2

/SAVE PRED MCIN ICIN.

*регрессия с сохранением предсказанных значений и доверительных интервалов средних и индивидуальных прогнозных значений.

В табл. 6.1 показано, что уравнение объясняет всего 4,5 % дисперсии зависимой переменной (коэффициент детерминации R ²=0,045), скорректированная величина коэффициента равна 0,042, а коэффициент множественной корреляции равен 0,211. Много это или мало, трудно сказать, поскольку у нас нет подобных результатов на других данных, но то, что здесь есть взаимосвязь, можно определить на основании табл. 6.2.

Таблица6. 1

Общие характеристики уравнения

 

 

R	R Square	Adjusted R Square	Std. Error of the Estimate
.211
.045	.042	.5277

a) Predictors: (Constant), V9_2, V9 Возраст

b) Dependent Variable: LNV14M логарифм промедианного дохода

 

Результаты дисперсионного анализа уравнения регрессии показывают, что гипотеза равенства всех коэффициентов регрессии нулю должна быть отклонена.

Таблица6. 2

Дисперсионный анализ уравнения

 

 

 

 

	Sum of Squares	df	Mean Square	F	Sig.
Regression
8,484		4,242	15,232	,000
Residual
181,298		0,278
Total
189,782

Таблица6. 3

Коэффициенты регрессии

	Unstandardized Coefficients		Standardized Coefficients	T	Sig.
B	Std. Error	Beta
(Constant)	–1,0569	0,1888		–5,5992	0,0000
V9 Возраст	0,0505	0,0093	1,1406	5,4267	0,0000
V9_2	–0,0006	0,0001	–1,0829	–5,1521	0,0000

Регрессионные коэффициенты представлены в табл. 6.3. В соответствии с ними уравнение регрессии имеет вид

Лог. промед. дохода = –1,0569 + 0,0505 ´ возраст – 0,0006 ´ возраст².

Стандартная ошибка коэффициентов регрессии значительно меньше величин самих коэффициентов, их отношения – t –статистики по абсолютной величине больше 5. Наблюдаемая значимость статистик (Sig) равна нулю, поэтому гипотеза о равенстве коэффициентов нулю отвергается для каждого коэффициента. Стоит обратить внимание на редкую ситуацию – коэффициенты бета по абсолютной величине больше 1. Это произошло, по-видимому, из-за того, что корреляция между возрастом и его квадратом весьма велика.

Рис. 6.1 показывает линию регрессии и доверительные границы для M (y) – математического ожидания y и для индивидуальных значений y. Он получается с помощью наложения полей рассеяния возраста с зависимой переменной, с переменной – прогнозом, с переменными – доверительными границами:

GRAPH /SCATTERPLOT(OVERLAY) = v9 v9 v9 v9 v9 v9 WITH pre_1 lmci_1 umci_1 lici_1 uici_1 lnv14m(PAIR).

Границы для M (y)(матожидания y) значительно уже, чем для y, так как последние должны охватывать больше 95 % точек графика.

На графике не прослеживается явной зависимости дисперсии остатка от значений независимой переменной – возраста. Некоторое суживание рассеяния данных для старших возрастов произошло, вероятно, за счет общего уменьшения плотности двумерного распределения.

6.1.9. Можно ли в регрессии использовать неколичественные переменные?

Определенно можно сказать, что неколичественные переменные не могут быть использованы в качестве зависимой переменной y. Это было бы грубейшей ошибкой; в таком случае уравнением регрессии может быть предсказан, к примеру, пол, имеющий код 1,5, или 0,5 при общепринятой кодировке пола 1 – мужчины, 2 – женщины.

В качестве независимой переменной применяются индексные переменные (в англоязычной литературе dummy - variables).

Например, для семейного положения в данных Курильского обследования (женат, вдов, разведен, холост) стоит ввести три индикаторные переменные: t ₁, t ₂ и t ₃ для выделения женатых, вдовых и разведенных. Эти переменные будут равны, соответственно, 1 или 0, в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит респондент к соответствующей группе.

Почему не 4, а 3 индексные переменные? Четвертая переменная определяется однозначно через первые три, поэтому введение ее вызвало бы коллинеарность, не позволяющую найти коэффициенты регрессии.

Ниже приведена программа, позволяющая изучить зависимость душевого дохода от возраста и семейного положения:

COMPUTE lnv14m = ln(v14/200).

COMPUTE t1 = (v11 = 1).

COMPUTE t2 = (v11 = 2).

COMPUTE t3 = (v11 = 3).

COMPUTE v9_2 = v9**2.

*квадрат возраста.

REGRESSION /DEPENDENT lnv14m /METHOD = ENTER v9 v9_2 t1 t2 t3 /SAVE PRED.

График связи возраста (V9) с предсказанным уравнением логарифмом доходов (переменная pre_2) получается командой

GRAPH /SCATTERPLOT(BIVAR) = v9 WITH pre_2
/MISSING = LISTWISE

Он представляет собой 4 параболы (рис. 6.2). В соответствии с коэффициентами перед t1,t2 и t3 (см. табл. 6.4), эти параболы соответствуют - сверху вниз - группам холостяков, разведенных, женатых и вдовцов (парабола холостяков получается при t1=t2=t3=0).

 

Вероятно, полученное уравнение можно улучшить, исключив из него переменные с незначимыми коэффициентами. Поскольку индексные переменные должны быть в определенной степени взаимосвязаны, уровень наблюдаемой значимости может определяться здесь коллинеарностью, поэтому «ревизию» переменных нужно проводить осторожно, чтобы существенно не ухудшить полученного уравнения.

Из-за взаимосвязи переменных здесь нет возможности говорить о том, какая переменная больше влияет на зависимую переменную. Обратите внимание на довольно редкий эффект: b-коэффициенты для возраста и его квадрата по абсолютной величине больше 1!

Таблица6. 4

Коэффициенты регрессии с индексными переменными

	B	Std. Error	Beta	T	Sig.
(Constant)	–1,1721	0,1937		–6,0500	0,0000
V9 Возраст	0,0635	0,0105	1,4298	6,0299
V9_2	–0,0007	0,0001	–1,3243	–5,7351
T1 Женат	–0,2030	0,0766	–0,1540	–2,6488	0,0000
T2 Вдовец	–0,2471	0,1352	–0,0850	–1,8279	0,0000
T3 Разведен	–0,1494	0,1134	–0,0661	–1,3176	0,1881

Кроме того, модель с тремя «параллельными» параболами, вероятно, не полностью адекватна – каждая группа может иметь свою конфигурацию линии регрессии. Для учета этого в уравнении стоит использовать переменные взаимодействия. Вопросам их конструирования посвящен следующий раздел.