Тест хи-квадрат

Критерий хи-квадрат основан на статистике

,

где – ожидаемая частота i -го значения переменной, N_i – расчетная. Теоретическое распределение этой статистики при больших N совпадает с распределением хи-квадрат. Число степеней свободы теоретического распределения полагается равным k – 1, где k – число значений исследуемой переменной. Эмпирическое правило говорит о том, что некорректно применять критерий, если ожидаемые частоты меньше 5, поскольку его распределение в этом случае не будет близко к теоретическому. Но использование точных методов вычисления значимости (метод Монте-Карло) позволяет избежать этого ограничения.

Пример. Пусть согласно статистическим данным 30 % трудоспособного населения имеет возраст до 30 лет, 30 % от 30 до 40 лет и 40 % свыше 40 лет. Соответствует ли выборочное распределение признака «возраст» в обследовании «Курильские острова» распределению возраста в генеральной совокупности?

RECODE v9 (1 THR 30 = 1)(31 THR 40 = 2)(41 THRU HI = 3) INTO w9.

NPAR TESTS /CHISQUARE = W9 /EXPECTED 3 3 4.

Подкоманда /CHISQUARE задает тестируемую переменную; в подкоманде /EXPECTED задаем через пробел ожидаемые пропорции распределения.

Выполнение этих команд позволяет получить значение критерия и оценить степень соответствия нашей выборки распределению генеральной совокупности (табл. 5.1, 5.2).

Таблица5. 1

Наблюдаемые и ожидаемые частоты

	Observed N	Expected N	Residual
			–35
Total

Таблица5. 2

Статистика хи-квадрат

	W9
Chi-Square	8,333
Df
Asymp. Sig.	0,016

Анализируя табл. 5.1, уже по отклонениям расчетных значений от ожидаемых (см. столбец Residual), видим, что эмпирическое распределение сильно отличается от теоретического. Достаточно высокое значение критерия (Chi-Square = 8,333, табл. 5.2) малоинформативно. Ответ о совпадении на­шего распределения с теоретическим заключен в анализе наблюдаемого уровня значимости. Его малая величина (Asymp. Sig. = 0,016) показывает, что полученные отклонения значимы: вероятность получить большие значения хи-квадрат равна 1,6 %, гипотеза о соответствии выборки указанной генеральной совокупности может быть отвергнута на уровне значимос­ти 5 %.

Таким образом, для данного случая тест показал существенное различие теоретического и эмпирического распределений.

Приведем пример применения метода статистического моделирования Монте-Карло. В этом примере производится 100 000 экспериментов по моделированию выборки из генеральной совокупности с заданными вероятностями (p ₁=0,3, p ₂=0,3, p ₃=0,4):

NPAR TEST /CHISQUARE = w9 /EXPECTED = 3 3 4
/METHOD = MC CIN(99) SAMPLES(100000).

Естественно, при такой большой выборке был получен тот же результат (табл. 5.3). Уровень значимости оценивается этим методом приближенно, на основании статистических экспериментов – чем больше экспериментов, тем точнее. Поскольку оценка значимости получена на основе случайных экспериментов, выдается доверительный интервал для уровня значимости (99 %-й по умолчанию). Точечная оценка наблюдаемого уровня значимости (Monte Carlo Sig) совпадает с асимптотической оценкой (Asymp. Sig., табл. 5.3), «оптимистическая» нижняя граница равна 0,015, «пессимистическая» верхняя – 0,017. Таким образом, во всех отношениях отклонение распределения значимо.

Таблица5. 3

Значимость критерия хи-квадрат

			W9
Chi-Square			8,333
Df
Asymp. Sig.			0,016
Monte Carlo Sig	Sig.		0,016
	99 % Confidence Interval	Lower Bound	0,015
		Upper Bound	0,017