МНОЖЕСТВЕННЫЕ СРАВНЕНИЯ

Множественные сравнения являются одной из труднейших проблем в математической статистике. В действительности при анализе данных исследователи сталкиваются с ними на каждом шагу.

Пусть, например, мы рассматриваем 100 независимых таблиц сопряженности пар переменных, отбирая среди них "интересные" для анализа с использованием критических значений хи-квадрат 5%-го уровня значимости. Тогда при отсутствии связи переменных мы будем в среднем в таких испытаниях получать 5 "интересных" (значимых) таблиц, даже если связь между всеми переменными отсутствует. Таким образом, какие бы ни были плохие данные, мы что-либо будем интерпретировать. Но при повторном сборе данных - мы можем получить противоположные результаты. Вот что значит множественные сравнения!

Сравнение групповых средних это одна из немногих задач, где удалось справиться с этой проблемой.

Суть задачи состоит в отборе значимых различий множества пар групп, определяемых переменной группирования. Сравнение пары средних мы научились делать с помощью процедуры T-TEST и, казалось бы, можно, задавшись уровнем значимости, пропустить через этот тест все пары групп и отобрать различающиеся по за данному уровню. Однако, перебирая группы, мы перебираем множество случайных чисел, и, благодаря этому, можем наткнуться на значимое отличие с гораздо большей вероятностью, чем при рассмотрении одной пары групп. В частности, если группы независимы и не связаны с тестируемой переменной, при 10 сравнениях по уровню значимости 0.05 мы с вероятностью 1-(1-0.05)¹⁰=0.4 случайно получим хотя бы одно "значимое" различие.

Для пояснения механизма работы тестов множественных сравнений остановимся на 3-х из 20 тестах, реализованных в SPSS.

Согласно методу Бонферрони, в случае множественных сравнений назначается более строгий уровень значимости для попарных сравнений. Он определяется так: задается уровень значимости для множественных сравнений a_m и в качестве попарного уровня значимости берется a=(1/k)a_m., где k - число сравнений. Пусть A_i - событие, состоящее в том, что мы в i -том сравнении выявили существенное отличие средних, когда средние совпадают, тогда, в соответствии с заданным уровнем значимости, P{A_i}<a. Ясно, что P{A₁+A₂+…+A_k}≤P{A₁}+P{A₂}+…+P{A_k}<ka=a_m, поэтому метод Бонферрони гарантирует нас от ошибки с вероятностью, не меньшей a_m. В независимых сравнениях неравенство P{A₁+A₂+…+A_k}<ka, будет выполняться почти точно, так как 1-(1-a)^k»ka. Критерий несколько жестче, чем необходимо, так как средние в группах связаны - их взвешенная сумма равна общему среднему.

Метод Шеффе построен на контрастах. С его помощью проверяется гипотеза равенства нулю сразу всех контрастов, не только тех, что сравнивают пары групп. В результате он часто оказывается еще строже, чем критерий Бонферрони.

Таблица 4.10. Oneway, сравнение среднего промедианного логарифма доходов.

	N	Mean	Std. Deviation	Std. Error	95% Confidence Interval for Mean	Minimum	Maximum
Lower Bound	Upper Bound
1.00 Высшее		0.048	0.511	0.032	-0.016	0.111	-1.050	2.015
2.00 н/высш		-0.248	0.606	0.100	-0.450	-0.046	-1.386	1.099
3.00 ср спец		0.009	0.479	0.032	-0.055	0.073	-1.386	1.740
4.00 среднее		-0.093	0.619	0.054	-0.200	0.015	-2.254	1.504
5.00 ниже сред.		-0.107	0.530	0.092	-0.295	0.081	-0.916	1.099
Total		-0.016	0.534	0.021	-0.057	0.024	-2.254	2.015

Таблица 4.11. Oneway, проверка однородности дисперсий

Levene Statistic	df1	df2	Sig.
2.282			0.059

Таблица 4.12. Oneway, обычный дисперсионный анализ

	Sum of Squares	df	Mean Square	F	Sig.
Between Groups	4.187		1.047	3.724	0.005
Within Groups	187.202		0.281
Total	191.389

Таблица 4.13. Oneway, группы неразличимых средних

	W10 образование
Tukey HSD	2.00 н/высш		-0.248
	5.00 ниже среднего		-0.107	-0.107
	4.00 среднее		-0.093	-0.093
	3.00 ср спец			0.009
	1.00 Высшее			0.048
	Sig.		0.429	0.436
Scheffe	2.00 н/высш		-0.248
	5.00 ниже среднего		-0.107	-0.107
	4.00 среднее		-0.093	-0.093
	3.00 ср спец		0.009	0.009
	1.00 Высшее			0.048
	Sig.		0.093	0.579

 

Критерий Тьюки основан на одновременных доверительных интервалах разности матожиданий в группах. Этот критерий из трех рассматриваемых, пожалуй, наиболее разумен. Предположение об одновременном равенстве разностей всех групповых матожиданий - слишком сильное предположение, в критерии Тьюки такого не предполагается.

Таблица 4.14. Oneway, множественные попарные сравнения

			Mean Difference (I-J)	Std. Error	Sig.	95% Confidence Interval
	(I) W10 образование	(J) W10 образование				Lower Bound	Upper Bound
Tukey HSD	1.00 Высшее	2.00 н/высш	0.296*	0.093	0.013	0.041	0.551
		3.00 ср спец	0.039	0.049	0.934	-0.095	0.172
		4.00 среднее	0.140	0.057	0.102	-0.016	0.297
		5.00 ниже среднего	0.154	0.098	0.516	-0.113	0.422
	2.00 н/высш	1.00 Высшее	-0.296*	0.093	0.013	-0.551	-0.041
		3.00 ср спец	-0.257	0.094	0.050	-0.514	0.000
		4.00 среднее	-0.155	0.099	0.515	-0.425	0.114
		5.00 ниже среднего	-0.142	0.127	0.799	-0.488	0.205
	3.00 ср спец	1.00 Высшее	-0.039	0.049	0.934	-0.172	0.095
		2.00 н/высш	0.257	0.094	0.050	0.000	0.514
		4.00 среднее	0.102	0.059	0.412	-0.058	0.262
		5.00 ниже среднего	0.116	0.099	0.769	-0.154	0.386
	4.00 среднее	1.00 Высшее	-0.140	0.057	0.102	-0.297	0.016
		2.00 н/высш	0.155	0.099	0.515	-0.114	0.425
		3.00 ср спец	-0.102	0.059	0.412	-0.262	0.058
		5.00 ниже среднего	0.014	0.103	1.000	-0.268	0.296
	5.00 ниже среднего	1.00 Высшее	-0.154	0.098	0.516	-0.422	0.113
		2.00 н/высш	0.142	0.127	0.799	-0.205	0.488
		3.00 ср спец	-0.116	0.099	0.769	-0.386	0.154
		4.00 среднее	-0.014	0.103	1.000	-0.296	0.268

 

В качестве примера рассмотрим различие среднего промедианного логарифма доходов в группах по образованию, группы которого несколько укрупнены:

recode v10 (4 5 =4) (6 7 8=5) (else=copy) into w10.

var lab w10 "образование";.

value lab w10 1 "Высшее" 2 "н/высш" 3 "ср. спец" 4 "среднее" 5 "ниже среднего";.

ONEWAY lnv14m BY w10 /STATISTICS DESCRIPTIVES HOMOGENEITY /POSTHOC = BTUKEY SCHEFFE BONFERRONI ALPHA(.05).

На основании полученной выдачи видим, что:

- доверительные интервалы для высшего и неполного высшего образования не пересекаются (см. табл.4.10);

- дисперсии в группах различаются не существенно (см. тест Ливиня, табл.4.11);

- в целом наблюдается связь душевого дохода с образованием (гипотеза о равенстве средних - отвергается, см. таблицу 4.12);

- выделились следующие две группы по образованию с неразличимыми средними: 2 н/высшее, 5 ниже среднего, 4 среднее и 5 ниже среднего, 4 среднее, 3 среднее спец, 1 высшее (табл.4.13);

- попарные множественные сравнения показали, что единственная пара отличающихся по средним групп - это группы с неполным высшим и респондентов с высшим образованием (наблюдаемая значимость - 0.013, таблица 4.14).

Следует заметить, что мы не показали здесь часть таблицы попарных сравнений с результатами для метода Бонферрони и Шеффе; результаты аналогичны, но для указанной пары групп значимость различия по Шеффе - 0.041, по Бонферрони - 0.016. Это показывает большую чуствительность теста Тьюки.