Ре­ше­ние. 40 страница

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

8. B 5 № 27947. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка, равен по­ло­ви­не его диа­го­на­ли. Диа­го­наль равна 5, по­это­му ра­ди­ус равен 2,5.

Ответ: 2,5.

Ответ: 2,5

9. B 5 № 27733. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра .

Ре­ше­ние.

Имеем: , . Ко­ор­ди­на­ты раз­но­сти век­то­ров равны раз­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат, по­это­му . Длина век­то­ра . По­это­му квад­рат длины век­то­ра равен .

 

Ответ: 40.

Ответ: 40

10. B 5 № 245008. Най­ди­те (в см²) пло­щадь фи­гу­ры, изоб­ра­жен­ной на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). В от­ве­те за­пи­ши­те .

 

 

Вариант № 3658380

1. B 5 № 27824. Две сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма от­но­сят­ся как , а пе­ри­метр его равен 70. Най­ди­те боль­шую сто­ро­ну па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны па­рал­ле­ло­грам­ма по­пар­но равны, зна­чит,

 

.

Зная, что пе­ри­метр па­рал­ле­ло­грам­ма равен 70, на­хо­дим: .

Ответ: 20.

Ответ: 20

B 5 № 27546.

На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

3. B 5 № 27821. Ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 4 и 10. Най­ди­те боль­ший из от­рез­ков, на ко­то­рые делит сред­нюю линию этой тра­пе­ции одна из ее диа­го­на­лей.

Ре­ше­ние.

боль­ший от­ре­зок сред­ней линии тра­пе­ции яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка , а зна­чит, равен по­ло­ви­не его ос­но­ва­ния.

 

.

Ответ: 5.

Ответ: 5

4. B 5 № 27815. В квад­ра­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей до одной из его сто­рон равно 7. Най­ди­те пе­ри­метр этого квад­ра­та.

Ре­ше­ние.

В квад­ра­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей до сто­ро­ны равно по­ло­ви­не сто­ро­ны. По­это­му сто­ро­на квад­ра­та равна 14, а его пе­ри­метр 56.

 

Ответ: 56.

 

Ответ: 56

B 5 № 27600.

Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка, если его пе­ри­метр равен 18, и одна сто­ро­на на 3 боль­ше дру­гой.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин всех сто­рон. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, тогда вто­рая равна a+3. Пе­ри­метр будет со­от­вет­ствен­но равен

P = 2 a + 2 (a + 3) = 18,

тогда одна из сто­рон будет равна 3, а дру­гая 6. По­это­му

S = 3 6 = 18.

Ответ: 18.

Ответ: 18

6. B 5 № 27549. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, ма­лень­ко­го квад­ра­та и трех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

см².

Ответ: 12.

Ответ: 12

7. B 5 № 27814. Най­ди­те сто­ро­ну квад­ра­та, диа­го­наль ко­то­ро­го равна .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра , зна­чит,

 

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

B 5 № 27586.

Най­ди­те пло­щадь ромба, если его сто­ро­ны равны 1, а один из углов равен 150°

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию квад­ра­та его сто­ро­ны и си­ну­са его угла. По­это­му

 

см².

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

B 5 № 27656.

Най­ди­те ор­ди­на­ту се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки O (0; 0) и A (6; 8).

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты точки, де­ля­щей от­ре­зок по­по­лам, счи­та­ют­ся по фор­му­ле:

 

,

Ответ: 4.

Ответ: 4

10. B 5 № 244991. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна сумме пло­ща­дей двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и пло­ща­ди тра­пе­ции. По­это­му

 

.

Ответ: 5

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь коль­ца равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го и ма­ло­го кру­гов. Ра­ди­ус боль­шо­го круга равен 2, а ма­ло­го — 1, от­ку­да

 

.

По­это­му

.

 

Ответ: 3

Ре­ше­ние.

так как , то . Тогда

 

,

от­ку­да, .

Ответ: 6.

Ответ: 6

Вариант № 3658424

1. B 5 № 27555. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­же­на фи­гу­ра (см. ри­су­нок). Най­ди­те ее пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и трех тре­уголь­ни­ков. По­это­му

 

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

2. B 5 № 244989. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка и ма­лень­ко­го пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, ги­по­те­ну­за ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся сто­ро­ной ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка. По­это­му

.

Ответ: 2,5

B 5 № 27748.

В тре­уголь­ни­ке . Внеш­ний угол при вер­ши­не равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

так как тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, то углы при его ос­но­ва­нии равны.

 

.

Ответ: 69.

 

Ответ: 69

4. B 5 № 27714. Диа­го­на­ли изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке ромба равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра + .

Ре­ше­ние.

Длина век­то­ра равна век­то­ру . Длина век­то­ра равна .

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

5. B 5 № 27547. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. Вы­бе­рем за ос­но­ва­ние вер­ти­каль­ную сто­ро­ну, дли­ной 3 клет­ки. Тогда про­ве­ден­ная к ней из левой ниж­ней вер­ши­ны тру­е­голь­ни­ка вы­со­та равна 5 клет­кам (см. рис.). По­это­му

см².

Ответ: 7,5.

Ответ: 7,5

6. B 5 № 319057. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 176. Точка – се­ре­ди­на сто­ро­ны . Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка .

Ре­ше­ние.

Пусть − пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из точки на про­дол­же­ние сто­ро­ны Вы­ра­зим пло­щадь тре­уголь­ни­ка через пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма

 

 

 

Ответ: 44.

Ответ: 44

7. B 5 № 27690. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки пе­ре­се­че­ния пря­мых, за­дан­ных урав­не­ни­я­ми 3 x + 2 y = 6 и y = − x.

Ре­ше­ние.

Решая сов­мест­но эти два урав­не­ния, по­лу­ча­ем, что x = 6, y = −6.

 

Ответ: −6.

Ответ: -6

8. B 5 № 27717. Диа­го­на­ли ромба пе­ре­се­ка­ют­ся в точке и равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра + .

Ре­ше­ние.

Сумма век­то­ров + равна век­то­ру . — ромб, его диа­го­на­ли пе­ре­се­ка­ют­ся под пря­мым углом, зна­чит,

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

9. B 5 № 27564. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;6), (9;6), (7;9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

 

см².

Ответ: 12.

Ответ: 12

10. B 5 № 27453. Най­ди­те тан­генс угла .

Вариант № 3658517

1. B 5 № 27450. Най­ди­те тан­генс угла .

Ре­ше­ние.

про­ве­дем вы­со­ту из точки на сто­ро­ну . Тогда, при­ни­мая во вни­ма­ние, что , по­лу­чим:

 

.

Ответ: 1.

 

Ответ: 1

2. B 5 № 27552. Най­ди­те пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, счи­тая сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток рав­ны­ми 1.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и че­ты­рех пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го пря­мо­уголь­ни­ка. По­это­му

 

см².

Ответ: 10.

 

При­ме­ча­ние

Для вы­чис­ле­ния пло­ща­ди фи­гу­ры можно сло­жить пло­ща­ди тре­уголь­ни­ков BCD и BAD, име­ю­щих общую сто­ро­ну BD, длина ко­то­рой равна 5, и рав­ные про­ве­ден­ные к ней вы­со­ты длины 2.

Ответ: 10

B 5 № 27669.

Пря­мая a про­хо­дит через точки с ко­ор­ди­на­та­ми (0; 4) и (6; 0). Пря­мая b про­хо­дит через точку с ко­ор­ди­на­та­ми (0; 8) и па­рал­лель­на пря­мой a. Най­ди­те абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния пря­мой b с осью Ox

 

Ре­ше­ние.

Урав­не­ние пря­мой имеет вид , где — уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент, рав­ный тан­ген­су угла на­кло­на пря­мой к оси абс­цисс. Уг­ло­вой ко­эф­фи­ци­ент пря­мой a от­ри­ца­те­лен и равен . Пря­мые а и b па­рал­лель­ны, по­это­му их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. Сле­до­ва­тель­но, урав­не­ние пря­мой b имеет вид .

 

Точка лежит на пря­мой b, по­это­му , от­ку­да . Тогда пря­мая b за­да­ет­ся урав­не­ни­ем . Оста­лось найти абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния b с осью абс­цисс:

.

 

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние.

Па­рал­лель­ные пря­мые от­се­ка­ют на сто­ро­нах угла про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки. Пря­мая b на оси ор­ди­нат от­се­ка­ет от­ре­зок вдвое боль­ше, чем пря­мая a. Сле­до­ва­тель­но, на оси абс­цисс она тоже от­се­ка­ет от­ре­зок вдвое боль­шей длины. По­это­му ис­ко­мая абс­цис­са равна 12.

 

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

4. B 5 № 27544. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

5. B 5 № 27937. Около окруж­но­сти опи­са­на тра­пе­ция, пе­ри­метр ко­то­рой равен 40. Най­ди­те ее сред­нюю линию.

Ре­ше­ние.

В вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

6. B 5 № 27938. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равен 22, ее боль­шая бо­ко­вая сто­ро­на равна 7. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

7. B 5 № 27723. Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат век­то­ра .

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. Век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты . По­это­му сумма ко­ор­ди­нат век­то­ра равна 8.

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

8. B 5 № 27936. Бо­ко­вые сто­ро­ны тра­пе­ции, опи­сан­ной около окруж­но­сти, равны 3 и 5. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

в вы­пук­лый че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда

 

Ответ: 4.

Ответ: 4

B 5 № 245003.

Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го пря­мо­уголь­ни­ка, четырёх пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка и пло­ща­ди ма­лень­ко­го квад­ра­та. По­это­му

 

.

 

 

При­ме­ча­ние.

За­дан­ный четырёхуголь­ник можно рас­смат­ри­вать как два тре­уголь­ни­ка с общим ос­но­ва­ни­ем, рав­ным длине квад­рат­ной клет­ки. Вы­со­ты этих тре­уголь­ни­ков равны 1, по­это­му их пло­ща­ди 0,5, а сумма этих пло­ща­дей равна 1.

Ответ: 1

10. B 5 № 27697. Най­ди­те ор­ди­на­ту цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­ни­ка ABCD, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты со­от­вет­ствен­но (−2; −2), (6; −2), (6; 4), (−2; 4).

Вариант № 3658576

1. B 5 № 27858. Най­ди­те хорду, на ко­то­рую опи­ра­ет­ся угол , впи­сан­ный в окруж­ность ра­ди­у­са 3.

Ре­ше­ние.

, зна­чит, , т. к. яв­ля­ет­ся цен­траль­ным углом, опи­ра­ю­щим­ся на ту же хорду. Со­от­вет­ствен­но, тре­уголь­ник – рав­но­сто­рон­ний, так как .