Ре­ше­ние. 39 страница

Ре­ше­ние.

В че­ты­рех­уголь­ник можно впи­сать окруж­ность тогда и толь­ко тогда, когда зна­чит,

 

Ответ: 14.

Ответ: 14

6. B 5 № 27689. Най­ди­те абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния пря­мых, за­дан­ных урав­не­ни­я­ми 3 x + 2 y = 6 и y = x.

Ре­ше­ние.

Решая си­сте­му этих двух урав­не­ний, по­лу­ча­ем, что y = x = 1,2.

 

Ответ: 1,2.

Ответ: 1,2

7. B 5 № 27456. Най­ди­те тан­генс угла .

Ре­ше­ние.

До­стро­им угол до тре­уголь­ни­ка , . делит ос­но­ва­ние по­по­лам, зна­чит, – вы­со­та. Из ри­сун­ка на­хо­дим .

 

.

 

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить и до­ка­зать, что рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABO яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тан­ген­сы равны 1.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

B 5 № 27836.

Пер­пен­ди­ку­ляр, опу­щен­ный из вер­ши­ны ту­по­го угла на боль­шее ос­но­ва­ние рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции, делит его на части, име­ю­щие длины 10 и 4. Най­ди­те сред­нюю линию этой тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

сред­няя линия тра­пе­ции равна:

.

Ответ: 10.

 

Ответ: 10

9. B 5 № 315122. На клет­ча­той бу­ма­ге на­ри­со­ва­ны два круга. Пло­щадь внут­рен­не­го круга равна 51. Най­ди­те пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры.

 

Ре­ше­ние.

Пло­ща­ди кру­гов от­но­сят­ся как квад­ра­ты их ра­ди­у­сов. По­сколь­ку ра­ди­ус боль­ше­го круга вдвое боль­ше ра­ди­у­са мень­ше­го круга, пло­щадь боль­ше­го круга вчет­ве­ро боль­ше пло­ща­ди мень­ше­го. Сле­до­ва­тель­но, она равна 204. Пло­щадь за­штри­хо­ван­ной фи­гу­ры равна раз­но­сти пло­ща­дей кру­гов: 204 − 51 = 153.

 

Ответ: 153.

Ответ: 153

10. B 5 № 27544. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

Вариант № 3658019

1. B 5 № 27682. Точки O (0; 0), B (8; 2), C (2; 6) и A яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки A.

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC. Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му ,

 

Ответ: 8.

Ответ: 8

2. B 5 № 27665. Най­ди­те синус угла на­кло­на от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки O (0; 0) и A (6; 8), с осью абс­цисс.

Ре­ше­ние.

Если опу­стить из точки пер­пен­ди­ку­ляр на ось абс­цисс, то по­лу­чит­ся пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник. Длина

 

.

Тогда по­лу­ча­ет­ся, что

.

Ответ: 0,8.

Ответ: 0,8

3. B 5 № 27716. Диа­го­на­ли ромба равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра .

Ре­ше­ние.

Раз­ность век­то­ров равна век­то­ру . Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Век­тор яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке. По­это­му .

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

4. B 5 № 315133. На клет­ча­той бу­ма­ге изоб­ражён круг. Ка­ко­ва пло­щадь круга, если пло­щадь за­штри­хо­ван­но­го сек­то­ра равна 32?

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что Тогда по­это­му По­это­му пло­щадь сек­то­ра равна от пло­ща­ди круга. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь круга равна

 

Ответ:96.

Ответ: 96

5. B 5 № 27544. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

6. B 5 № 245005. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди тра­пе­ции, ма­лень­ко­го пря­мо­уголь­ни­ка и двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

 

см².

 

 

При­ме­ча­ние.

Дан­ный четырёхуголь­ник можно раз­бить на пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник, с ка­те­та­ми 1 и 3, пря­мо­уголь­ную тра­пе­ию с ос­но­ва­ни­я­ми 3 и 1 и пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 1 и 1. По­это­му его пло­щадь равна 4.

Ответ: 4

7. B 5 № 27737. Най­ди­те квад­рат длины век­то­ра + .

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. По­это­му век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты , век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты . Ко­ор­ди­на­ты суммы век­то­ров равны сумме со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат. Тогда век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты . Длина век­то­ра . По­это­му квад­рат длины век­то­ра равен .

 

Ответ: 200.

Ответ: 200

8. B 5 № 27848. Най­ди­те сред­нюю линию тра­пе­ции , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

Ре­ше­ние.

.

Ответ: 3.

Ответ: 3

9. B 5 № 27594. Сред­няя линия и вы­со­та тра­пе­ции равны со­от­вет­ствен­но 3 и 2. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. Сред­няя линия тра­пе­ции равна по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний. По­это­му

 

см².

Ответ: 6.

Ответ: 6

10. B 5 № 27803. Най­ди­те ме­ди­а­ну тре­уголь­ни­ка , про­ве­ден­ную из вер­ши­ны , если сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток равны 1.

Ре­ше­ние.

ме­ди­а­на про­ве­ден­ная из вер­ши­ны , будет де­лить ос­но­ва­ние по­по­лам. По­стро­им от­ре­зок . Видно, что он равен 3.

Ответ: 3.

Ответ: 3

Вариант № 3658107

1. B 5 № 77152. Ос­но­ва­ния рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равны 6 и 12. Синус остро­го угла тра­пе­ции равен 0,8. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну.

Ре­ше­ние.

тре­уголь­ни­ки и равны (), зна­чит,

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

B 5 № 245002.

Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го тре­уголь­ни­ка и ма­лень­ко­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

 

.

Ответ: 3

3. B 5 № 27545. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен тре­уголь­ник (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

см².

Ответ: 12.

Ответ: 12

4. B 5 № 27658. Най­ди­те ор­ди­на­ту се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки A (6, 8) и B (-2, 2).

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты точки, де­ля­щей от­ре­зок по­по­лам, счи­та­ют­ся по фор­му­ле:

 

, .

Ответ: 5.

Ответ: 5

5. B 5 № 27779. В тре­уголь­ни­ке угол равен , угол равен . , и – вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол между вы­со­та­ми равен углу между сто­ро­на­ми, к ко­то­рым они про­ве­де­ны: .

Ответ: 82.

Ответ: 82

6. B 5 № 27763. Два угла тре­уголь­ни­ка равны и . Най­ди­те тупой угол, ко­то­рый об­ра­зу­ют вы­со­ты тре­уголь­ни­ка, вы­хо­дя­щие из вер­шин этих углов. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Cумма углов в вы­пук­лом четырёхуголь­ни­ке равна 360 гра­ду­сам, сле­до­ва­тель­но,

 

.

Ответ: 130.

Ответ: 130

7. B 5 № 27674. Точки O (0; 0), A (6; 8), B (6; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки C.

Ре­ше­ние.

Так как у па­рал­ле­ло­грам­ма про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но равны, то , . Из­вест­но, что имеет ко­ор­ди­на­ты , сле­до­ва­тель­но,

.

По­это­му .

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

8. B 5 № 27699. Най­ди­те абс­цис­су цен­тра окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (8; 0), (0; 6), (8; 6).

Ре­ше­ние.

Тре­уголь­ник яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Центр окруж­но­сти, опи­сан­ной около пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, сов­па­да­ет с се­ре­ди­ной ги­по­те­ну­зы. Тогда ко­ор­ди­на­ты цен­тра окруж­но­сти:

 

, .

Ответ: 4.

Ответ: 4

B 5 № 27794.

В тре­уголь­ни­ке , , вы­со­та равна . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та в рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке яв­ля­ет­ся ме­ди­а­ной, по­это­му AH = 2. Рас­смот­рим тре­уголь­ник AHC, по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

.

Угол АСН, ле­жа­щий про­тив ка­те­та, рав­но­го по­ло­ви­не ги­по­те­ну­зы, равен 30 По­сколь­ку ис­ко­мый угол ACB вдвое боль­ше, он равен 60

Ответ: 60.

Ответ: 60

10. B 5 № 27642. Най­ди­те пло­щадь коль­ца, огра­ни­чен­но­го кон­цен­три­че­ски­ми окруж­но­стя­ми, ра­ди­у­сы ко­то­рых равны и .

Ре­ше­ние.

Пло­щадь круга опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой S = π R ². Пло­щадь коль­ца равна раз­но­сти пло­ща­дей пер­во­го и вто­ро­го круга. Тогда

 

, .

 

По­это­му пло­щадь коль­ца: S = S ₁ − S ₂ = 16 − 4 = 12.

 

Ответ: 12.

Ответ: 12

Вариант № 3658206

1. B 5 № 27740. Най­ди­те ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров и .

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. По­это­му век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты , век­тор имеет ко­ор­ди­на­ты . Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров равно:

 

.

Ответ: 40.

Ответ: 40

B 5 № 27586.

Най­ди­те пло­щадь ромба, если его сто­ро­ны равны 1, а один из углов равен 150°.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь ромба равна про­из­ве­де­нию квад­ра­та его сто­ро­ны и си­ну­са его угла. По­это­му

 

см².

Ответ: 0,5.

Ответ: 0,5

3. B 5 № 27767. В тре­уголь­ни­ке – вы­со­та, – бис­сек­три­са, – точка пе­ре­се­че­ния и угол равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

 

.

Ответ: 116.

Ответ: 116

4. B 5 № 317337. В тре­уголь­ни­ке ABC от­ре­зок DE — сред­няя линия. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка CDE равна 38. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABC.

Ре­ше­ние.

 

Тре­уголь­ник ABC по­до­бен тре­уголь­ни­ку DEC с ко­эф­фи­ци­ен­том 2. Пло­ща­ди по­доб­ных фигур от­но­сят­ся как квад­рат ко­эф­фи­ци­ен­та по­до­бия, по­это­му

 

.

 

Ответ: 152.

Ответ: 152

5. B 5 № 27577. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;7), (4;5), (4;7), (1;9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту. По­это­му

Ответ: 6.

Ответ: 6

B 5 № 27779.

В тре­уголь­ни­ке угол равен , угол равен . , и – вы­со­ты, пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся в точке . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Угол между вы­со­та­ми равен углу между сто­ро­на­ми, к ко­то­рым они про­ве­де­ны: .

Ответ: 82.

Ответ: 82

7. B 5 № 27729. Век­тор с кон­цом в точке (5; 4) имеет ко­ор­ди­на­ты (3; 1). Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат точки .

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти ко­ор­ди­нат конца век­то­ра и его на­ча­ла. Ко­ор­ди­на­ты точки A вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом: 5 − x = 3, 4 − y = 1. От­ку­да x = 2, y = 3. По­это­му сумма ко­ор­ди­нат точки A равна 5.