Ре­ше­ние. 41 страница

Ответ: 3.

Ответ: 3

2. B 5 № 27456. Най­ди­те тан­генс угла .

Ре­ше­ние.

До­стро­им угол до тре­уголь­ни­ка , . делит ос­но­ва­ние по­по­лам, зна­чит, – вы­со­та. Из ри­сун­ка на­хо­дим .

 

.

 

При­ме­ча­ние.

Можно за­ме­тить и до­ка­зать, что рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABO яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным. Тогда углы AOB и OАB равны 45°, а их тан­ген­сы равны 1.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

3. B 5 № 27670. Пря­мая a про­хо­дит через точки с ко­ор­ди­на­та­ми (0; 4) и (−6; 0). Пря­мая b про­хо­дит через точку с ко­ор­ди­на­та­ми (0; −6) и па­рал­лель­на пря­мой a. Най­ди­те абс­цис­су точки пе­ре­се­че­ния пря­мой b с осью O

 

Ре­ше­ние.

Пря­мые па­рал­лель­ны, по­это­му их уг­ло­вые ко­эф­фи­ци­ен­ты равны. Тогда , от­ку­да .

 

Ответ: 9.

Ответ: 9

B 5 № 27571.

Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, вер­ши­ны ко­то­рой имеют ко­ор­ди­на­ты (1;1), (10;1), (8;6), (5;6).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

 

см².

Ответ: 30.

Ответ: 30

B 5 № 27674.

Точки O (0; 0), A (6; 8), B (6; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те ор­ди­на­ту точки C.

Ре­ше­ние.

Так как у па­рал­ле­ло­грам­ма про­ти­во­по­лож­ные сто­ро­ны по­пар­но равны, то , . Из­вест­но, что имеет ко­ор­ди­на­ты , сле­до­ва­тель­но,

.

По­это­му .

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

6. B 5 № 27726.

Век­тор с на­ча­лом в точке (3; 6) имеет ко­ор­ди­на­ты (9; 3). Най­ди­те сумму ко­ор­ди­нат точки .

Ре­ше­ние.

Пусть ко­ор­ди­на­ты точки B равны x_B и y_B. x_B. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра равны раз­но­сти со­от­вет­ству­ю­щих ко­ор­ди­нат его конца и на­ча­ла. Сле­до­ва­тель­но, x_B − 3 = 9, y_B − 6 = 3. От­ку­да x_B = 12, y_B = 9. По­это­му сумма ко­ор­ди­нат точки B равна 21.

 

Ответ: 21.

Ответ: 21

7. B 5 № 27564. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка, вер­ши­ны ко­то­ро­го имеют ко­ор­ди­на­ты (1;6), (9;6), (7;9).

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

 

см².

Ответ: 12.

Ответ: 12

8. B 5 № 27925. Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­ной тра­пе­ции равна ее мень­ше­му ос­но­ва­нию, угол при ос­но­ва­нии равен 60°, боль­шее ос­но­ва­ние равно 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этой тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

Окруж­ность, опи­сан­ная во­круг тра­пе­ции, опи­са­на и во­круг тре­уголь­ни­ка . Это тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, угол при вер­ши­не равен 120°, углы при ос­но­ва­нии равны 30°. Най­дем его бо­ко­вую сто­ро­ну:

 

от­ку­да Тогда по тео­ре­ме си­ну­сов:

 

Ответ: 6.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние (Р. А., СПб.).

 

Хорды AD, DC и CB равны, по­это­му равны и стя­ги­ва­е­мые ими дуги. Впи­сан­ный угол А равен 60°, он опи­ра­ет­ся на две из этих дуг и равен по­ло­ви­не их суммы. По­это­му каж­дая из дуг равна 60°, их сумма равна 180°, а хорда АВ яв­ля­ет­ся диа­мет­ром. От­сю­да по­лу­ча­ем, что ис­ко­мый ра­ди­ус равен 6.

Ответ: 6

9. B 5 № 244993. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, двух ма­лень­ких пря­мо­уголь­ни­ков и четырёх пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му .

 

При­ме­ча­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка, диа­го­на­ли ко­то­ро­го пер­пе­н­ли­ку­ляр­ны, равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь равна 4.

Ответ: 4

B 5 № 245004.

Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Вариант № 3658694

B 5 № 245006.

Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди тра­пе­ции, ма­лень­ко­го пря­мо­уголь­ни­ка и двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

 

.

 

 

При­ме­ча­ние.

Четырёхуголь­ник со­став­лен из двух тре­уголь­ни­ков, име­ю­щих общее ос­но­ва­ние, рав­ное длине квад­рат­ной клет­ки: пря­мо­уголь­но­го с ка­те­та­ми 1 и 1, и ту­по­уголь­но­го с ос­но­ва­ни­ем длины 1 и вы­со­той, про­ве­ден­ной к этому ос­но­ва­нию, также длины 1. По­это­му пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна 0,5 + 0,5 = 1.

Ответ: 1

B 5 № 27588

. Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 16. Один из его ка­те­тов равен 4. Най­ди­те дру­гой катет.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его ка­те­тов. Пусть не­из­вест­ный катет равен a. Тогда

см²,

от­ку­да a = 8 см.

Ответ: 8.

Ответ: 8

3. B 5 № 319056. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна 153. Най­ди­те пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма , вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон дан­но­го па­рал­ле­ло­грам­ма.

Ре­ше­ние.

Че­ты­рех­уголь­ник, вер­ши­на­ми ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся се­ре­ди­ны сто­рон про­из­воль­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка, яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грам­мом, пло­щадь ко­то­ро­го равна по­ло­ви­не пло­ща­ди ис­ход­но­го че­ты­рех­уголь­ни­ка (см. па­рал­ле­ло­грамм Ва­ри­ньо­на).

 

По­это­му его пло­щадь равна 76,5.

 

 

Ответ:76,5.

Ответ: 76,5

4. B 5 № 27948. Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат , счи­тая сто­ро­ны квад­рат­ных кле­ток рав­ны­ми .

Ре­ше­ние.

ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в квад­рат, равен по­ло­ви­не его сто­ро­ны.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

5. B 5 № 27716. Диа­го­на­ли ромба равны 12 и 16. Най­ди­те длину век­то­ра .

Ре­ше­ние.

Раз­ность век­то­ров равна век­то­ру . Диа­го­на­ли ромба пер­пен­ди­ку­ляр­ны и точ­кой пе­ре­се­че­ния де­лят­ся по­по­лам. Век­тор яв­ля­ет­ся ги­по­те­ну­зой в пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке. По­это­му .

 

Ответ: 10.

Ответ: 10

B 5 № 55603.

Пло­щадь круга равна . Най­ди­те длину его окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти равен R, тогда пло­щадь круга опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой S = πR², длина окруж­но­сти опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой l = 2πR. По­это­му

 

, , зна­чит,

Ответ: 42.

Ответ: 42

7. B 5 № 244983. Най­ди­те пло­щадь ромба, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, двух ма­лень­ких квад­ра­тов и четырёх пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

 

.

 

При­ме­ча­ние.

Наш четырёхуголь­ник — ромб, его пло­щадь равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. По­это­му она равна 3.

Ответ: 3

8. B 5 № 27747. В тре­уголь­ни­ке . Внеш­ний угол при вер­ши­не равен . Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

так как тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, то углы при его ос­но­ва­нии равны.

 

.

Ответ: 64.

Ответ: 64

9. B 5 № 27896. Ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка равна 12. Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти этого тре­уголь­ни­ка.

Ре­ше­ние.

впи­сан­ный угол опи­ра­ю­щий­ся на диа­метр окруж­но­сти, яв­ля­ет­ся пря­мым, зна­чит, – диа­метр.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

B 5 № 27605.

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен 28, а диа­го­наль равна 10. Най­ди­те пло­щадь этого пря­мо­уголь­ни­ка.

Вариант № 3658804

1. B 5 № 27658. Най­ди­те ор­ди­на­ту се­ре­ди­ны от­рез­ка, со­еди­ня­ю­ще­го точки A (6, 8) и B (-2, 2).

Ре­ше­ние.

Ко­ор­ди­на­ты точки, де­ля­щей от­ре­зок по­по­лам, счи­та­ют­ся по фор­му­ле:

 

, .

Ответ: 5.

Ответ: 5

2. B 5 № 27598. Най­ди­те пло­щадь сек­то­ра круга ра­ди­у­са , цен­траль­ный угол ко­то­ро­го равен 90°.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь сек­то­ра круга, цен­траль­ный угол ко­то­ро­го равен n° равна чет­вер­ти пло­ща­ди круга. По­это­му

 

.

Ответ: 0,25.

Ответ: 0,25

B 5 № 55603.

Пло­щадь круга равна . Най­ди­те длину его окруж­но­сти.

Ре­ше­ние.

Пусть ра­ди­ус окруж­но­сти равен R, тогда пло­щадь круга опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой S = πR², длина окруж­но­сти опре­де­ля­ет­ся фор­му­лой l = 2πR. По­это­му

 

, , зна­чит,

Ответ: 42.

Ответ: 42

4. B 5 № 27561. На клет­ча­той бу­ма­ге с клет­ка­ми раз­ме­ром 1 см 1 см изоб­ра­жен па­рал­ле­ло­грамм (см. ри­су­нок). Най­ди­те его пло­щадь в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна про­из­ве­де­нию ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию или его про­дол­же­нию. По­это­му

см².

При­ме­ча­ние.

При­ве­дем дру­гое ре­ше­ние. Пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма равна раз­но­сти пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка и двух рав­ных пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. По­это­му

 

см².

Ответ: 12.

Ответ: 12

5. B 5 № 27924. Около тра­пе­ции опи­са­на окруж­ность. Пе­ри­метр тра­пе­ции равен 22, сред­няя линия равна 5. Най­ди­те бо­ко­вую сто­ро­ну тра­пе­ции.

Ре­ше­ние.

тра­пе­ция – рав­но­бед­рен­ная, т. к. во­круг неё опи­са­на окруж­ность.

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

6. B 5 № 244983. Най­ди­те пло­щадь ромба, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го квад­ра­та, двух ма­лень­ких квад­ра­тов и четырёх пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го тре­уголь­ни­ка. По­это­му

 

.

 

При­ме­ча­ние.

Наш четырёхуголь­ник — ромб, его пло­щадь равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния диа­го­на­лей. По­это­му она равна 3.

Ответ: 3

7. B 5 № 27679. Точки O (0; 0), A (10; 8), B (8; 2) и C яв­ля­ют­ся вер­ши­на­ми па­рал­ле­ло­грам­ма. Най­ди­те абс­цис­су точки C.

Ре­ше­ние.

Пусть точка P яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ков OA и BC.

Ко­ор­ди­на­ты точки P вы­чис­ля­ют­ся сле­ду­ю­щим об­ра­зом:

 

, ,

но с дру­гой сто­ро­ны,

, .

По­это­му ,

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

8. B 5 № 27720. Сто­ро­ны пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равны . Най­ди­те длину век­то­ра .

Ре­ше­ние.

До­стра­и­ва­ем тре­уголь­ник до ромба. По­сколь­ку не­об­хо­ди­мо найти длину боль­шей диа­го­на­ли ромба, рав­ную удво­ен­ной длине ме­ди­а­ны рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Таким об­ра­зом, имеем:

 

.

 

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

9. B 5 № 27572. Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь тра­пе­ции равна про­из­ве­де­нию по­лу­сум­мы ос­но­ва­ний на вы­со­ту. По­это­му

 

см².

Ответ: 9.

Ответ: 9

10. B 5 № 244995. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

 

 

Ре­ше­ние.

Пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го пря­мо­уголь­ни­ка и двух оди­на­ко­вых тре­уголь­ни­ков, пло­ща­ди ко­то­рых равны по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния ос­но­ва­ния на вы­со­ту, про­ве­ден­ную к этому ос­но­ва­нию. По­это­му

 

.

 

При­ме­ча­ние.

От­ре­зав от фи­гу­ры верх­ний пра­вый пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 1 и 2, можно при­ло­жить его к ле­во­му ниж­не­му пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку, до­стро­ив тем самым фи­гу­ру до пря­мо­уголь­ни­ка со сто­ро­на­ми 1 и 3, пло­щадь ко­то­ро­го равна 3.

Ответ: 3

Ре­ше­ние.

Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка равен сумме длин его сто­рон. Пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна про­из­ве­де­нию его длины на ши­ри­ну. Пусть одна из сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна a, вто­рая равна b. Пе­ри­метр пря­мо­уголь­ни­ка будет со­от­вет­ствен­но равен P = 2 a + 2 b = 28. Диа­го­наль об­ра­зу­ет в пря­мо­уголь­ни­ке два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра a ² + b ² = 100. Тогда имеем:

 

 

Тем самым, S = a · b = 48.

 

Ответ: 48.

Ответ: 48

Ре­ше­ние.

Пло­щадь четырёхуголь­ни­ка равна раз­но­сти пло­ща­ди боль­шо­го пря­мо­уголь­ни­ка, ма­лень­ко­го пря­мо­уголь­ни­ка и двух пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков, ги­по­те­ну­зы ко­то­рых яв­ля­ют­ся сто­ро­на­ми ис­ход­но­го четырёхуголь­ни­ка. По­это­му

 

.

 

При­ме­ча­ние.

За­дан­ный четырёхуголь­ник можно рас­смат­ри­вать как два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка с ка­те­та­ми 1 и 2, ко­то­рые, при­ло­жив их ги­по­те­ну­зы друг к другу, можно сло­жить в пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 1 и 2, пло­щадь ко­то­ро­го равна 2.

Ответ: 2

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка об­ра­зу­ет два пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ка. Диа­го­наль равна диа­мет­ру окруж­но­сти, опи­сан­ной около тре­уголь­ни­ка, сле­до­ва­тель­но, центр окруж­но­сти лежит на се­ре­ди­не диа­го­на­ли пря­мо­уголь­ни­ка. Тогда можно легко найти ко­ор­ди­на­ты цен­тра окруж­но­сти.

 

, .

Ответ: 1.

Ответ: 1

Ре­ше­ние.

про­ве­дем вы­со­ту из точки на про­дол­же­ние сто­ро­ны . Тогда:

 

.

Ответ: -2.

 

Ответ: -2

 

Вариант № 3658954

1. B 6 № 320199. Чтобы по­сту­пить в ин­сти­тут на спе­ци­аль­ность «Линг­ви­сти­ка», аби­ту­ри­ент дол­жен на­брать на ЕГЭ не менее 70 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и ино­стран­ный язык. Чтобы по­сту­пить на спе­ци­аль­ность «Ком­мер­ция», нужно на­брать не менее 70 бал­лов по каж­до­му из трёх пред­ме­тов — ма­те­ма­ти­ка, рус­ский язык и об­ще­ст­во­зна­ние.