Идеальные частотные фильтры.

Идеальным полосовым фильтром называется фильтр, имеющий единичную амплитудно-частотную характеристику в полосе от определенной нижней частоты w_н до определенной верхней частоты w_в, и нулевой коэффициент передачи за пределами этой полосы (для цифровых фильтров - в главном частотном диапазоне).

Импульсная реакция фильтра (коэффициенты оператора) находится обратным преобразованием Фурье заданной передаточной функции H(w). В общем случае:

h(nDt) = (1/2p) H(w) exp(jwnDt) dw.

Для получения вещественной функции импульсного отклика фильтра действительная часть передаточной функции должна быть четной, а мнимая - нечетной. Цифровые фильтры задаются в главном частотном диапазоне, границы которого (частота Найквиста w_N) определяются интервалом дискретизации данных (w_N = p/Dt), подлежащих фильтрации, и соответственно определяют интервал дискретизации оператора фильтра (Dt = p/w_N). Для фильтров с нулевым фазовым сдвигом мнимая часть передаточной функции должна быть равна нулю, при этом оператор фильтра определяется косинусным преобразованием Фурье:

h(nDt)= (1/p) H(w) cos(npw/w_N) dw, n = 0, 1, 2,... (7.2.1)

Для идеального полосового фильтра H(w)=1 в полосе частот от w_н до w_в, и интеграл (7.2.1) вычисляется в этих пределах. Идеальные фильтры низких и высоких частот, как частные случаи идеальных ПФ, интегрируются в диапазоне от 0 до w_в для низкочастотного и от w_н до w_N для высокочастотного фильтра.

При интервале дискретизации данных Dt, условно принимаемым за 1, главный частотный диапазон передаточных функций ограничивается значением частоты Найквиста от -p до p. Если на практике интервал дискретизации данных в физических единицах отличается от 1, то это сказывается только на изменении масштаба частотной шкалы передаточных функций.

Пример 1. Dt = 0.1 сек. f_N = 1/2Dt = 5 Гц. w_N = p/Dt = 10 p.

Пример 2. Dx = 10 метров. f_N = 0.05 м^-1. w_N= 0.1 p.

Во всех дальнейших выражениях значение Dt, если это специально не оговорено, будем принимать равным 1.

При H(w)=A=1 в полосе пропускания (w_н, w_в), и H(w)=0 за ее пределами, для идеальных симметричных полосовых НЦФ из (7.2.1) с границами интегрирования, соответственно, от w_н до w_в в общем виде получаем:

h(n) = (А/p) [w_в sinc(nw_в) - w_н sinc(nw_н)], (7.2.2)

h_o = (w_в - w_н)/p, h(n) = (sin nw_в - sin nw_н)/(np).

где sinc(nw) = sin(nw)/(nw) - функция интегрального синуса (функция отсчетов), бесконечная по координате w.

При инверсии частотной характеристики в заградительный фильтр:

h_o = (1-(w_н - w_в))/p, h(n) = (sin nw_н - sin nw_в)/(np).

Рис. 7.2.1. Входные сигналы. Рис. 7.2.2. Спектр сигнала и границы фильтра.

На рис. 7.2.1 приведен пример сигнала однотональной балансной амплитудной модуляции (чистого сигнала – вверху, с наложенными шумами внизу, мощность шумов равна мощности сигнала). Если информация заключена в частоте и амплитуде модулирующего сигнала, то полосовой фильтр выделения сигнала из шумов, спектр которого для одной модулирующей частоты приведен на рис. 7.2.2, в идеальном случае должен иметь плоскую частотную характеристику в границах возможных вариаций модулирующей частоты (от w_н до w_в).

Размер оператора фильтра определяется приблизительно из следующих соображений. Чем больше размер оператора, тем круче будет переходная зона и меньше ее размер, т.е. тем ближе будет фактически реализованная передаточная функция фильтра к идеальной. Обычно сначала стоит попробовать построить фильтр достаточно большого размера, оценить его соответствие заданной частотной характеристике и в дальнейшем попытаться уменьшить. Значение N для симметричных НЦФ должно быть нечетным числом.

Рис. 7.2.3. Оператор фильтра.

На рис. 7.2.3 приведен оператор полосового фильтра, вычисленный по (7.2.2) для приведенных выше условий, с ограничением по числу коэффициентов оператора до N=100. Как видно из рисунка, оператор затухает достаточно медленно и явно усечен, что должно сказаться на форме частотной характеристики фильтра. Все дальнейшие вычисления будут проводиться на продолжении данного примера.