Графическое изображение положительной и отрицательной регрессии

У У

• • •

• • • •• •• • •

• • • • • • • •

• •• • •• •

• • • •

• •• • •• •

•• •

0 Х 0

а) Прямая (положительная) регрессия б) Обратная (отрицательная) регрессия

 

Вопрос 2. Система показателей взаимосвязи, их вычисление и анализ

 

При наличии прямолинейной зависимости, определения тесноты связи производится с помощью коэффициента корреляции. Коэффициент корреляции представляет собой величину, которая изменяется в пределах от 0 1. Когда коэффициент корреляции равен «0» - связь линейная отсутствует, если он равен единице (с любым знаком), то между признаками существует функциональная связь. Знак при коэффициенте корреляции указывает направление связи (+ прямая связь, - обратная).

Коэффициент корреляции может быть рассчитан по формуле:

, где

- средняя величина из по парных произведений;

- средняя величина признака ;

- средняя величина признака ;

- среднее квадратическое отклонение по признаку ;

среднее квадратическое отклонение по признаку .

Коэффициент детерминации, выраженный в %, показывает, сколько колебаний результативного признака обусловлено влиянием факторного.

В тех случаях, когда связь между признаками и нелинейная (криволинейная), применяют корреляционное отношение (ню).

, где

- межгрупповая дисперсия результативного признака, вызванная влиянием признака-фактора;

- общая дисперсия результативного признака;

- среднее значение результативного признака в соответствующих группах выделенных по величине признака-фактора;

- общая средняя для всей совокупности.

Прямолинейную зависимость можно выразить уравнением прямой

, где

- среднее значение результативного признака;

-значение факторного признака;

- параметры уравнения;

- значения при =0

- коэффициент пропорциональности (регрессии).

В уравнении прямолинейной корреляционной связи неизвестные параметры определяют способом наименьших квадратов.

В основе этого способа лежит следующее требование: сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака () от их значений, полученных по уравнению связи (), должна быть минимальной.

Определение значений параметров способом наименьших квадратов производится путем построения и решения системы двух нормальных уравнений.

 

где – объем исследуемой совокупности (число единиц наблюдений)

- сумма значений факторного признака,

- сумма квадратов факторного признака,

- сумма значений результативного признака,

- сумма произведений значений факторного признака и значений результативного признака.

Значения подставляют в уравнение, находят коэффициенты , для чего каждое уравнение (член уравнения) делят на коэффициент при , затем из одного уравнения вычитают другое (почленно) и определяют , затем в любое уравнение подставляют значения и находят .

Полученные значения коэффициентов подставляют в уравнение прямой, полученное уравнение называют линейным корреляционным уравнением связи.

Параметр представляет собой коэффициент регрессии, который показывает на сколько в среднем изменяется результативный признак при изменении факторного на 1.

С целью расширения возможностей экономического анализа, для срав-нения роли различных факторов в формировании моделируемого показателя определяется коэффициент эластичности (Э) или - коэффициент.

Частный коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменяется результативный признак (у) при изменении факторного (х) на 1%. ; где b- коэффициент регрессии;

-коэффициент показывает, на какую часть среднего квадратического отклонения изменится результативный признак при изменении соответствующего фактора (х) на величину его среднего квадратического отклонения .

Определение регрессии при нелинейных корреляционных связях производится путем построения и решения уравнений, соответствующих различным типам кривых.

Определить тип уравнения можно графически или если результативный и факторный признаки возрастают одинаково, примерно в арифметической прогрессии, то связь между ними линейная, а при обратной связи – гиперболическая; если факторный признак увеличивается в арифметической прогрессии, а результативный – значительно быстрее, то используется параболическая или степенная регрессия.

В тех случаях, когда установлена криволинейная зависимость, принимающая формулу параболы второго порядка, связь выражается уравнением кривой

Параметры находятся путем решения системы нормальных уравнений

Оценка обратной зависимости между (х) и (у), когда с увеличением (уменьшением) (х) уменьшается (увеличивается) значение результативного признака (у), может быть осуществлена на основе уравнения гиперболы

и системы нормальных уравнений

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t- критерия Стьюдента.

с выходными параметрами (, k, ),

=n-k-1- число степеней свободы;

- заданный уровень значимости,

k=n-2 – число факторных признаков,

n – объем совокупности.

Данный критерий оценки значимости применяется для совокупности n<50.

Если расчетное значение это свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и о статистической существенности зависимости между Х и У.

При большем числе наблюдений (n>100) используется следующая формула .

 

Вопрос 3. Методика проведения корреляционно-регрессионного анализа в рядах динамики

При корреляционно-регрессионном анализе ряда динамики данные берутся минимум за 7 лет.

1) Строится таблица

 

Таблица 13- Вспомогательная таблица для расчета коэффициента корреляции

Годы	Факторный признак, Х	Результа-тивный признак, У
	Х	Х