Исходные данные для решения задачи 2

Показатель	Вариант
λ	1,37	1,62	1,42	1,83	1,75	1,55	1,4	1,65	1,7	1,3
об	2,3			2,5	1,5	1,7	1,2	2,6		2,5

Указание. Прежде чем использовать формулы предельных вероятностей, необходимо быть уверенным в их существовании, ведь в случае, когда время t → , очередь может неограниченно возрастать. Доказано, что если ρ < 1, т. е. среднее число приходящих заявок меньше среднего числа обслуженных заявок (в единицу времени), то предельные вероятности существуют. Если ρ ≥ 1, очередь растет до бесконечности. Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ /n < 1, т. е. при n > ρ.

Решение. n > 1, m = , т. е. имеем многоканальную систему с неограниченной очередью. По условию λ = 1,35 (1/мин). Показатель нагрузки системы определяется по формуле (4.2): ρ = 1,35∙2 = 2,7.

Очередь не будет возрастать до бесконечности при условии ρ / n < 1, т. е. при n > ρ = 2,7. Таким образом, минимальное количество контролеров-кассиров n_min = 3.

Найдем характеристики обслуживания СМО при n_min = 3.

Вероятность того, что в узле расчета отсутствуют покупатели, определяется по формуле

 

, (4.8)

 

р₀ = (1 + 2,7 + 2,7²/2! + 2,7³/3! + 2,7⁴/3! ∙ (3 – 2,7))^–1 = 0,025, т. е. в среднем 2,5 % времени контролеры-кассиры будут простаивать.

Вероятность того, что в узле расчета будет очередь, определяется по формуле

 

, (4.9)

 

Р_оч = (2,7⁴/3!(3 – 2,7)) ∙ 0,025 = 0,735.

Среднее число покупателей, находящихся в очереди, определяется по формуле

 

, (4.10)

 

_оч = (2,7⁴/3 ∙ 3!(1 – 2,7/3)²) ∙ 0,025 = 7,35.

Среднее время ожидания в очереди определяется по формуле

 

, (4.11)

 

_оч = 7,35/1,35 = 5,44 мин.

Среднее число покупателей в узле расчета определяется по формуле

 

, (4.12)

 

_сист = 7,35 + 2,7 = 10,05.

Среднее время нахождения покупателей в узле расчета определяется по формуле

 

, (4.13)

 

_сис = 10,05/1,35 = 7,44 мин.

Среднее число контролеров-кассиров, занятых обслуживанием покупателей, определяется по формуле

 

, (4.14)

 

= 2,7.

Коэффициент (доля) занятых обслуживанием контролеров-кассиров

= ρ/n = 2,7/3 = 0,9.

Абсолютная пропускная способность узла расчета А = 1,35 (1/мин), или 81 (1/ч), т. е. 81 покупатель в час.

Вывод. Анализ характеристик обслуживания свидетельствует о значительной перегрузке узла расчета при наличии трех кассиров.

Задача 3. На грузовой станции имеется два выгрузочных фронта. Интенсивность подхода составов под выгрузку составляет 0,4 состава в сутки. Среднее время разгрузки одного состава – 2 суток. Приходящий поезд отправляется на другую станцию, если в очереди на разгрузку стоят более трёх составов. Оценить эффективность работы выгрузочных фронтов грузовой станции: вероятность, что выгрузочные фронты свободны, вероятность, что состав останется без разгрузки, относительную пропускную способность, абсолютную пропускную способность, среднее число поездов, ожидающих разгрузки, среднее число заявок в системе, среднее время пребывания заявки в очереди, среднее время пребывания заявки в системе (табл. 4.4).

Таблица 4.4