ТЕОРИЯ ИГР

5.1. Понятие об игровых моделях

На практике часто приходится сталкиваться с задачами, в которых необходимо принимать решения в условиях неопределенности, т. е. возникают ситуации, в которых две (или более) стороны преследуют различные цели, а результаты любого действия каждой из сторон зависят от мероприятий партнера. Такие ситуации относятся к конфликтным: результат каждого хода игрока зависит от ответного хода противника, цель игры – выигрыш одного из партнеров. В экономике конфликтные ситуации встречаются очень часто и имеют многообразный характер. К ним относятся, например, взаимоотношения между поставщиком и потребителем, покупателем и продавцом, банком и клиентом.

Теория игр – раздел математики, изучающий конфликтные ситуации на основе их математических моделей.

Игра – математическая модель конфликтной ситуации.

Игроки – стороны, участвующие в конфликте.

Выигрыш – исход конфликта. Для того чтобы решить игру, или найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, т. е. один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, т. е. любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре.

5.2. Платёжная матрица. Нижняя и верхняя цена игры

Рассмотрим парную конечную игру. Пусть игрок А располагает m личными стратегиями, которые обозначим A₁, A₂, …, А_m. Пусть у игрока В имеется n личных стратегий, обозначим их B₁, B₂, …, B_m. Таким образом, игра имеет размерность m × n. В результате выбора игроками любой пары стратегий однозначно определяется исход игры, т. е. выигрыш а_ij игрока А (положительный или отрицательный) и проигрыш (–а_ij) игрока В. Предположим, что значения а_ij известны для любой пары стратегий (A_i, B_j). Матрица , элементами которой являются выигрыши, соответствующие стратегиям A_i и B_j, называется платежной матрицей,или матрицей игры. Общий вид такой матрицы представлен в табл. 5.1.

Таблица 5.1