Начисление непрерывных процентов.

Начисление непрерывных процентов представляет совой метод начисления процентов при котором проценты начисляются за очень малые промежутки времени.

Такой метод особенно актуален, когда фи­нансовые операции осуществляются и регистрируются с помощью электрон­ных методов и осуществляется непрерывная капитализация.

В этом случае наращенная сум­ма находится по формуле:

F_n = Р * е ^{r п}

где r — непрерывная ставка (ее также называют силой роста).

e – число Эйлера (равно 2,78)

 

Процентный доход составит величину:

 

I=Р * [е ^{r n} -1]

Формула непрерывной капитализации позволяет вычислить капитал в любом периоде времени.

Задачи

 

Клиент поместил в банк вклад в сумме 30 тыс. руб. под 14% годовых с ежемесячной выплатой процентов. Какой процентный доход он будет получать каждый месяц?

 

 

Решение:

Зная, что Р = 30 тыс. руб., n =1/12года r = 0,14, получаем

I=30 * 1/12 * 0,14 = 0,35 (тыс. руб.).

 

Вклад 300 тыс.руб помещен в банк на 5 месяцев под 15% годовых. Найти сумму, которую получит вкладчик через 5 месяцев.

 

Решение:

F = P * (1 + n*r) = 300 000 * (1 + 0,15*5/12) = 318750 руб.

Это наращенная сумма, т.е. та которую получит обратно вкладчик

 

Предоставлена ссуда в размере 80 тыс. руб. 12 марта с погашением 15 августа того же года под простую процентную ставку 15% годо­вых. Рассчитать всеми различными способами величину начислен­ных процентов, если год високосный.

 

Решение:

Величина уплачиваемых за пользование ссудой процентов зависит от числа дней, которое берется в расчет.

Точное число дней, определяемое по таблице или непосредственно, составит 156.

Приближенное число дней ссуды равно: 18 дней марта (30- 12) + 120 дней (по 30 дней четырех месяцев: апрель, май, июнь, июль) + 15 дней августа = 153.

1. В расчет принимаются точные проценты и точное число дней
ссуды:

I = 80 000 * 156/366 * 0,15 = 5115 руб.

2. В расчет принимаются обыкновенные проценты и точное число
дней:

I = 80000 * 156/360 *0,15 = 5200 руб.

3. В расчет принимаются обыкновенные проценты и приближенное
число дней:

I = 80000 * 153/360 * 0,15 = 5100 руб.

 

Таким образом, возможны следующие варианты начисления про­центов:

1) 5115 руб.; 2) 5200 руб.; 3) 5100 руб.

 

Сберегательный счет открыт 10 марта; на него положена сумма 8 тыс. руб. Затем 14 апреля на счет поступили 4 тыс. руб. Потом 25 июня сняли 3 тыс. руб., а 4сентября — 2 тыс. руб. Счет закрыт 20 декабря. Все операции осуществлялись в течение високосно­го года. Определить сумму, полученную владельцем счета, если процентная ставка равна 12% годовых; при расчете использовались обыкновенные проценты с точным числом дней.

Решение:

Вначале определяем суммы, которые последовательно фиксирова­лись на счете: 8 тыс. руб., 12 (8 + 4) тыс. руб., 9 (12 — 3) тыс. руб., 7 (9 — 2) тыс. руб. Затем находим сроки хранения этих сумм. Они соответственно равны 35, 72, 71 и 107 дней. Сумма процентных чи­сел составит:

k = P*t / 100 = (8000*35+12000*72+9000*71+7000*107) / 100 = 25,32

Дивизор в данном случае равен D = T/r = 360/12 = 30. Следовательно, об­щая величина начисленных процентов составит I = 25,32/30 = 0,844 (тыс. руб.). Владелец счета получит 7 + 0,844=7,844 (тыс. руб.).

 

За какое время капитал в 300 тыс. руб. предоставленный в ссуду под 20% увеличится на такую же величину, что и капитал в 200 тыс. руб. предоставленный в ссуду с 10.04 по 23.06 под 17% годовых.

 

 

Решение:

Рассчитаем процентный доход в обоих случаях

I 1 = P * t/T * r = 300000 * t / 360 * 0,20

I 2 = P * t/T * r =200000 * 73/360 *0,17

Приравняем эти равенства и найдем t для первого случая

300000*t/360*0,20 = 200000*73/360*0,17

t/360 = 6894,44 / 0,20*300000 = 0,1149

t = 0,1149 * 360 = 41,37 дней

 

Рублей предоставлены в ссуду на срок с 16.07 по 27.10 под 12 % годовых. Найти капитал на 27.10

 

 

Решение:

16.07 – 27.09 = 15+31+30+27 = 103 дня

F = P*(1+t/T*r) = 300000 + 300000* 0,12 * 103/360 = 300000 + 10300 = 310300 руб.

 

На какой период должен быть вложен капитал при 15 % годовых, чтобы полученные проценты в три раза превышали вложенный капитал.

 

 

Решение:

Для того, чтобы найти период нужно решить следующее уравнение

3 * Р = I

3 * P = P * t/T * r

3 * P = P * t /360 * 0,15

t / 360 =3 * P / P * 0,15

t / 360 = 3 / 0,15 = 20

t = 20*360 = 7200 дней = 20 лет

Марта заемщик получил кредит на 3 месяца. Он предоставил в залог 300 штук ценных бумаг. Кредит рассчитывался исходя из 80 % их курсовой стоимости. Процентная ставка составляет 12% годовых причем проценты выплачиваются в момент выдачи кредита, а затраты банка по обслуживанию кредита - 10000 рублей. Сколько денег фактически может получить заемщик, если курс его ценных бумаг составляет 10000 руб.

 

Решение:

Стоимость ценных бумаг составляет 10000*300 = 3 000 000 руб.

Кредит составляет 80 % от этой стоимости: 3000000*80% = 2400000 руб.

Проценты за три месяца составят:

I = P * t/T * r = 2400000 * 92/360 * 0,12 = 73600 руб.

Затраты банка 10000 руб.

Значит заемщик получит: 2400000 – 73600 – 10000 = 2316400

 

Кредит в 450 тыс. рублей взят на 3 месяца и обеспечен 50 облигациями. Срок погашения наступил 14.08. Процентная ставка составляет 10 % годовых. Заемщик не погасил долг вовремя а принес еще 300 облигаций и 100 акций в залог под новый кредит на 3 месяца, из которого будет погашен и первый кредит На какую сумму может рассчитывать заемщик, если кредит предоставляется в размере 80 % курсовой стоимости ценных бумаг, а курс акции 1 000 рублей, курс облигации 3 000 рублей.

 

Решение:

Заемщик должен заплатить первоначально: I = 450 000 * 0,1 * 92/360 = 11500 руб. – это проценты

и прибавим к этому основной долг, тогда всего заемщик задолжал 11500 + 450 000 = 461500 руб.

Рассчитаем новый кредит: (300 * 3000 + 100 * 1000) * 80% = (900000+100000)*80% = 800000 руб.

Проценты по второму кредиту: I = 800000 * 0,1*92/360 = 20444,5 руб.

Без учета первого кредита заемщик мог бы получить 800 000 – 20444,5 = 779555,5 руб.

Но погасив из этой суммы первый кредит он реально может рассчитывать на

779555,5 – 461500 = 318055,5 руб.