Складний відсоток.

Нарахування відсотку один раз на рік. У довгострокових фінансово-кредитних угодах частіше використовують нарахування складних відсотків. При нарахуванні складних відсотків їх нараховують не тільки на основну суму, а й на суму, що включає як основну суму, так і нараховані раніше відсотки. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків в міру їх нарахування.

При нарахуванні складних відсотків за перший період базою для нарахування є основна сума:

 

Р_t = Р * (1 + r) (3.12)

 

Відмінність результатів при складному і простому відсотків виникає, починаючи з другого періоду нарахування, а через n років сума на рахунку зросте до величини:

 

Р_n = Р * (1 + r)ⁿ (3.13)

 

Нарахування відсотків декілька разів на рік. Складний відсоток може нараховуватися частіше, ніж один раз на рік, наприклад, раз в півроку, квартал, місяць тощо. Нарахування складних відсотків декілька разів на рік називаєтьсякомпаундингом. Відсотки, що нараховуються з певною періодичністю, називаються дискретними. Нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:

 

(3.14)

 

де: m - періодичність нарахування відсотку протягом року.

Із зростанням кількості нарахувань відсотків протягом року абсолютний річний доход інвестора зростає.

Безперервне нарахування відсотку. Якщо тривалість інтервалу нарахування наближається до нуля, а періодичність нарахування відсотків - до нескінченності (m → ∞), ми одержимо безперервне нарахування відсотків, яке нерідко використовується в світовій практиці. Іншими словами, безперервне нарахування відсотків називається нескінченним компаундингом. Формула для нескінченно нараховуваного відсотку має наступний вигляд:

 

(3.15)

 

де: r_n - відсоток, що нараховується безперервно; n - період часу нарахування відсотку; е- 2,71828...

Еквівалентний і ефективний відсотки. В практиці фінансового ринку відсоток, що нараховується по активу, задають як простий відсоток з розрахунку на рік. Однак, якщо в рамках року по активу передбачено нарахування складного відсотку, то загальний результат, який одержить інвестор, буде вище декларованого. Щоб його визначити, необхідно розрахувати ефективний або реальний відсоток.

Ефективний (реальний) відсоток - це відсоток, який реально одержує інвестор за результатами року при нарахуванні складного відсотку. Ефективний відсоток можна визначити з наступного співвідношення:

 

→ (3.16)

 

де: r_еф - ефективний відсоток; r - простий відсоток з розрахунку на рік, який заданий за умовами фінансового інструменту.

Поєднання простого і складного відсотків. Досить часто фінансові контракти укладаються на період, що відрізняється від цілої кількості років. В даному випадку відсотки можуть нараховуватися або за схемою складних відсотків або за наступною схемою:

 

(3.17)

 

де: P_n+t – сума, яку одержить інвестор за n років і t днів;

Р – початково інвестована сума;

t – число днів, за які нараховується простий відсоток;

r – відсоток, що нараховується протягом року.

 

Необхідно враховувати, що даний метод дає менший, ніж потрібно результат. Отже, в ситуації, коли номінали грошових сум досить високі, цей метод не використовується. В цьому разі застосовують наступні формули (3.18) і (3.19) (капіталізація відсотків здійснюється щорічно):

 

(3.18)

 

(3.19)

 

Дисконтована вартість. У фінансових розрахунках виникає необхідність порівнювати між собою різні суми грошей в різні моменти часу. Дисконтування – це зведення економічних показників різних років до порівняного в часі вигляду. Дисконтування здійснюється за допомогою коефіцієнта дисконтування (дисконтую чого множника). Цю задачу вирішують за допомогою наступної формули:

 

(3.20)

 

де: Р_n – це майбутня вартість;

Р – дисконтована або приведена вартість (синонімами є сьогоднішня, дійсна, поточна вартість);

- це коефіцієнт дисконтування - його величина відповідає поточній вартості однієї грошової одиниці, яка буде одержана в кінці періоду n при складному відсотку r. Його величина залежить від тривалості свого періоду і необхідної ставки дисконту.

Формула використовується також при оцінці облігацій з нульовим купоном.

При нарахуванні складного відсотку m разів на рік формула (15) набуває вигляду:

 

(3.21)

 

Для відсотку, що нараховується безперервно:

 

(3.22)

 

Для розрахунку дисконтованої вартості для простого відсотку використовується формула:

 

(3.23)

Визначення періоду нарахування відсотків. На практиці виникають питання визначення періоду часу, який необхідний для збільшення суми Р до значення Р_n при нарахуванні відсотку r. Для простого відсотку:

 

(3.24)

 

Період t буде дорівнювати відповідно:

 

(3.25)

 

Період часу інвестування при складному відсотку дорівнює:

 

(3.26)