Односторонние пределы. В определении предела функции =А считается, что х стремится к хо любым способом: оставаясь меньшим

В определении предела функции =А считается, что х стремится к х_о любым способом: оставаясь меньшим, чем х_о (слева от х_о), большим, чем х_о (справа от х_о), или колеблясь около точки х_о.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к х_о существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов.

Число А₁ называется пределом функции у = f(х) слева в точке х_о, если для любого число ε>0 существует число δ = δ (ε) > О такое, что при х Î (х_о — δ; х_о), выполняется неравенство ½f(х) — А₁ ½< ε. Предел слева записывают так: =А₁ или коротко: f(х₀-0)=А₁ (обозначение Дирихле).

Аналогично определяется предел функции справа, запишем его с помощью символов:

Коротко предел справа обозначают f(х_о + 0) = А₂.

Пределы функции слева и справа называются односторонними пределами. Очевидно, если существует = А, то существуют и оба односторонних предела, причем А= А₁= А₂. Справедливо и обратное утверждение: если существуют оба предела f(х₀ —0) и f(х₀ +0) и они равны, то существует предел А = и А—f(х_о —0).

Если же А₁ ≠А₂, то не существует.

Предел функции при х →∞;

Пусть функция у = f(х) определена в промежутке (—∞; ∞). Число А называется пределом функции f(х) при х →∞, если для любого положительного числа ε существует такое число М = М(ε) > О, что при всех х, удовлетворяющих неравенству ½х½ > М выполняется неравенство ½f(х) — А½< ε. Коротко это определение можно записать так:

Если х →+∞, то пишут А= , если х →+∞, то — А =

Геометрический смысл этого определения таков: для " ε>0 $М>0, что при хÎ(-∞;М) или хÎ(М;+ ∞) соответствующие значения функции f(х) попадают в ε-окрестность точки А, т. е. точки графика лежат в полосе шириной 2ε, ограниченной прямыми у =А+ε и у =А—ε (см. рис.)