Геометрический смысл дифференциала

 

- дифференциал: это приращение ординаты точки, движущейся по касательной к кривой.

 

 

Из рисунка видно, что при Δ х →0 М₁ стремится к М и разность между приращением функции М₁N и дифференциалом функции КN стремится к нулю. Это дает основание использования дифференциала для приближенных вычислений:

1). ;

2). (5.20)

Пример. Вычислить приближенно

Получим сначала приближенную формулу для вычисления корней любого - й степени. Поскольку то . И соответственно (5.20) ,

Или (5.21)

В данном примере

 

Возьмем за число близкое до 16,64 и такое, чтобы мы знали ,

при этом Δ х должно быть достаточно малым. Понятно, что в нашем случае нужно взять , тогда и мы получим

Кроме того, с помощью дифференциала может быть решена задача об определении абсолютной и относительной погрешности вычисления функции при заданной погрешности измерения аргумента.

Мы ввели понятие дифференциала для функции у = f(х). пусть теперь у=f(u), где аргумент u=φ(х), то есть у является сложной функцией у=f(φ(х)). Если у=f(u) и u=φ(х) - дифференцируемые функции, то мы знаем, что . Тогда дифференциал этой функции

,

потому, что . Т.о. . (5.22)

Последнее равенство показывает, что форма дифференциала не зависит от того, будет ли функция простой, или сложной. Это свойство носит название инвариантности формы первого дифференциала. Следует понимать при этом, что инвариантна только форма. Содержание же различно, так как в формуле (5.18) , а в формуле (5.22) .

Дифференциал функции , вычисленный по формуле (5.18), называют еще дифференциалом первого порядка. Он представляет собой некоторую функцию от , которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка дважды дифференцируемой на функции у= f(х) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, то есть ,

при этом . (5.23)

Аналогично можно ввести понятие дифференциала Ш, ІV и так далее порядков. Определение. Дифференциалом - го порядка (или -м дифференциалом) для раз дифференцируемой на функции, называется дифференциал от дифференциала () - го порядка данной функции, т.е. .

. (5.24)

Обратим внимание на то, что, если не является независимой сменной, а функцией, то свойство инвариантности формы дифференциала высших порядков нарушается. Так, в частности, при

.