Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Геометрический смысл дифференциала





 

- дифференциал: это приращение ординаты точки, движущейся по касательной к кривой.

 

 

Из рисунка видно, что при Δ х →0 М1 стремится к М и разность между приращением функции М1N и дифференциалом функции КN стремится к нулю. Это дает основание использования дифференциала для приближенных вычислений:

1). ;

2). (5.20)

Пример. Вычислить приближенно

Получим сначала приближенную формулу для вычисления корней любого - й степени. Поскольку то . И соответственно (5.20) ,

Или (5.21)

В данном примере

 

Возьмем за число близкое до 16,64 и такое, чтобы мы знали ,

при этом Δ х должно быть достаточно малым. Понятно, что в нашем случае нужно взять , тогда и мы получим

Кроме того, с помощью дифференциала может быть решена задача об определении абсолютной и относительной погрешности вычисления функции при заданной погрешности измерения аргумента.

Мы ввели понятие дифференциала для функции у = f(х). пусть теперь у=f(u), где аргумент u=φ(х), то есть у является сложной функцией у=f(φ(х)). Если у=f(u) и u=φ(х) - дифференцируемые функции, то мы знаем, что . Тогда дифференциал этой функции

,

потому, что . Т.о. . (5.22)

Последнее равенство показывает, что форма дифференциала не зависит от того, будет ли функция простой, или сложной. Это свойство носит название инвариантности формы первого дифференциала. Следует понимать при этом, что инвариантна только форма. Содержание же различно, так как в формуле (5.18) , а в формуле (5.22) .

Дифференциал функции , вычисленный по формуле (5.18), называют еще дифференциалом первого порядка. Он представляет собой некоторую функцию от , которая также может иметь дифференциал.

Дифференциалом второго порядка дважды дифференцируемой на функции у= f(х) называется дифференциал от дифференциала первого порядка этой функции, то есть ,

при этом . (5.23)

Аналогично можно ввести понятие дифференциала Ш, ІV и так далее порядков. Определение. Дифференциалом - го порядка (или -м дифференциалом) для раз дифференцируемой на функции, называется дифференциал от дифференциала () - го порядка данной функции, т.е. .

. (5.24)

Обратим внимание на то, что, если не является независимой сменной, а функцией, то свойство инвариантности формы дифференциала высших порядков нарушается. Так, в частности, при

.







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 489. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...


Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Мотивационная сфера личности, ее структура. Потребности и мотивы. Потребности и мотивы, их роль в организации деятельности...

Классификация ИС по признаку структурированности задач Так как основное назначение ИС – автоматизировать информационные процессы для решения определенных задач, то одна из основных классификаций – это классификация ИС по степени структурированности задач...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Приложение Г: Особенности заполнение справки формы ву-45   После выполнения полного опробования тормозов, а так же после сокращенного, если предварительно на станции было произведено полное опробование тормозов состава от стационарной установки с автоматической регистрацией параметров или без...

Измерение следующих дефектов: ползун, выщербина, неравномерный прокат, равномерный прокат, кольцевая выработка, откол обода колеса, тонкий гребень, протёртость средней части оси Величину проката определяют с помощью вертикального движка 2 сухаря 3 шаблона 1 по кругу катания...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия