СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ

I.

1) область определения;

2) область значений;

3) наличие точек разрыва и их характер; определить невертикальные (наклонные и горизонтальные) асимптоты;

4) четность, нечетность (указать характер поведения графика функции);

5) периодичность;

6) нули (указать точки пересечения с осями координат).

 

II. Интервалы монотонности и экстремумы

1) определить интервалы монотонности;

2) определить критические точки І рода и значения функции в них;

3) указать точки экстремума.

III. Промежутки выпуклости и точки перегиба

1) определить промежутки выпуклости графика;

2) определить точки перегиба и значения функции в них.

ІV. Внести данные в таблицы.

 

V. Построить график функции в декартовой системе координат.

Пример 5. Дана функция . Найти .

Решение:

Продифференцировать левую и праву части, учитывая, что является функцией от .

.

Решим данное уравнение относительно :

.

Пример 6. Найти производную функции, заданной уравнением:

Решение:

тогда

Пример 7. Найти уравнение касательной и нормали к кривой в точке .

Решение:

Уравнение касательной: .

.

Уравнение касательной: .

Уравнение нормали: ,

- уравнение нормали.

 

Пример 8. Найти , если

Решение:

Пример 9. Вычислить

Решение:

Имеем неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим:

Пример 10. Вычислить

Решение:

Имеем неопределенность вида . Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим:

 

Пример 11. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение:

1. Область определения:

2. Функция имеет разрывы при

3.

Ведь - вертикальная асимптота.